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2.2等差数列2.2.2等差数列的前n项和第二课时等差数列习题课自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1.掌握根据Sn求an的方法.2.会求等差数列前n项和的最值.3.掌握裂项法求和.1.等差数列前n项和的最值(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为___________项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___________值;负数小(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为___________项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___________值.特别地,若a1>0,d>0,则___________是{Sn}的最___________值;若a1<0,d<0,则___________是{Sn}的最___________值.正数大S1小S1大(3)利用等差数列的前n项和公式Sn,结合二次函数求最值.通过配方得Sn=An+B2A2-B24A,利用二次函数的性质求最值,但特别注意n∈N*,所以n为最接近-B2A的正整数时,Sn取最值.(4)利用等差数列的通项公式an,结合数列的单调性求最值.利用数列的单调性求最值时,我们要搞清取得最值的根本原因,实际上可以这样来分析:①d>0⇔{an}为___________,若a1>0,则S1=a1最小;若a1<0,则满足an≤0,an+1≥0的n对应的Sn最小.②d<0⇔{an}为___________,若a1<0,则S1=a1最大;若a1>0,则满足an≥0,an+1≤0的n对应的Sn最大.递增数列递减数列2.数列的通项与前n项和的关系(1)数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an与an有如下关系:____________________(2)已知Sn,求an若已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式an时,要分两步进行:先求当n≥2时,an=Sn-Sn-1,再令n=1,求a1.an=S1n=1,Sn-Sn-1n≥2.若a1=S1,则an即为所求,若a1≠S1,则an=S1n=1,Sn-Sn-1n≥2,即表示为分段函数形式.1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a5=()A.15B.8C.7D.9解析:a5=S5-S4=(52-10)-(42-8)=7.答案:C2.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=10,且5S1S5=15,则a2=________.解析:由5S1S5=15,得S1S5=25,即5a1a3=25,∴a1a3=5,又a1a2a3=10,∴a2=2.答案:23.已知数列{an}中,a1=-30,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=________.解析:由题可知,数列{an}为等差数列,公差为3,∴an=-30+3(n-1)=3n-33.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=30+27+24+…+0+3+…+12=10×3+302+5×0+122=195.答案:195典例精析规律总结课堂互动探究(2019·黑龙江哈尔滨期中)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18【解析】解法一:由题可得a1+a1+2d+a1+4d=105,a1+d+a1+3d+a1+5d=99,∴a1=39,d=-2.∴an=a1+(n-1)d=41-2n,∴当n=20时,a20=10,当n=21时,a21=-10,∴使Sn达到最大值的n为20.解法二:同解法一可得a1=39,d=-2,∴Sn=39n+nn-12·(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,∴当n=20时,Sn有最大值,故选B.【答案】B【知识点拨】求数列前n项和的最值问题的方法有:(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可.这是因为:当an>0时,Sn>Sn-1,即Sn单调递增;当an<0时,Sn<Sn-1,即Sn单调递减.(2018·河北邯郸月考)等差数列{an}的公差d0,且a21=a211,则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是()A.5B.6C.5或6D.6或7解析:∵d0,由a21=a211,得a1=-a11,∴a1+a11=0,∴a6=0,∴a50,a70,∴当n=6或n=5时,Sn最大,故选C.答案:C已知下列各数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=(-1)n+1n;(2)Sn=3n-2.【解】(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n(-2n+1),由于a1也符合此等式,因此an=(-1)n(-2n+1)(n∈N*).(2)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1.∵a1=1不符合an=2·3n-1,∴an=1n=1,2·3n-1n≥2.【知识点拨】已知数列{an}的前n项和Sn或Sn与an的关系式,求通项an有如下关系an=S1n=1,Sn-Sn-1n≥2,特别当n≥2时,若求出an也符合n=1,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.(2018·甘肃威武月考)若数列{an}前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________.解析:当n=1时,a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1,当n=1时,2×1+1=3≠4,∴an=4,n=1,2n+1,n≥2.答案:4,n=1,2n+1,n≥2等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)由a1=10,a2为整数,可知等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,∴10+3d≥0,10+4d≤0,∴-103≤d≤-52,∴d=-3.∴数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)bn=1anan+1=113-3n10-3n=13110-3n-113-3n,∴Tn=b1+b2+…+bn=1317-110+14-17+…+110-3n-113-3n=13110-3n-110=n1010-3n.【知识点拨】1.若数列{an}是等差数列,公差为d,则和式Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1an-1an可用裂项法求和,具体过程如下:∵1an-1·an=1d1an-1-1an,∴Tn=1d1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1-1an=1d1a1-1an=n-1a1an.2.裂项法求和是数列求和的一种常用方法,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.常用到的裂项公式有如下形式:(1)1nn+k=1k1n-1n+k;(2)1n+k+n=1k(n+k-n).(2019·福建三校联考)已知等差数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,且a2=5,S5=35.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列1Sn-n的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)由题得a1+d=5,5a1+5×42d=35,∴a1=3,d=2.∴an=2n+1.(2)由(1)可得Sn=n3+2n+12=n(n+2),∴1Sn-n=1n2+n=1n-1n+1,∴Tn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.即学即练稳操胜券基础知识达标1.(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12解析:设该等差数列的公差为d,根据题中的条件可得,33×2+3×22·d=2×2+d+4×2+4×32·d,整理解得d=-3,所以a5=a1+4d=2-12=-10,故选B.答案:B2.(2018·河南长葛质检)已知等差数列{an}满足a5=3,a7=-3,则数列{|an|}的前10项和为()A.15B.75C.45D.60解析:由a5=3,a7=-3,得a1+4d=3,a1+6d=-3,∴a1=15,d=-3,∴an=18-3n,∴当n≤6时,an≥0,当n≥7时,an<0,∴S10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6-a7-a8-a9-a10=6a1+a62-4a7+a102=615+02-2(-3-12)=75,故选B.答案:B3.(2019·河北鸡泽月考)已知{an}为等差数列,若a11a10-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n=()A.11B.17C.19D.21解析:由a11a10-1得a11+a10a100,由Sn有最大值,知公差d0,∴a11a10,∴a100,a11+a100,∴a110,∴S19=19a100,S20=10a1+a202=5(a11+a10)0,∴当n=19时,Sn取得最小正值,故选C.答案:C4.(2018·北京丰台月考)在数列{an}中,an+1=an+2,且a1=1,则1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1a9a10=()A.919B.1819C.1021D.2021解析:由an+1=an+2,可知数列{an}是等差数列,公差d=2.∴an=2n-1,∴1a1a2+1a2a3+…+1a9a10=11×3+13×5+…+117×19=121-13+13-15+…+117-119=919,故选A.答案:A5.设等差数列{an}的前n项和Sn=n2-21n.(1)求数列的通项公式an;(2)求Sn的最小值.解:(1)当n=1时,a1=S1=12-21×1=-20,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-22,n=1时也满足上式,∴数列的通项公式为an=2n-22,(2)Sn=n2-21n=n-2122-4414,∴当n=10或n=11时,(Sn)min=-110.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列习题
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