2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列 第一课时 等差数列课件 新人教B

2．2等差数列2．2.1等差数列第一课时等差数列自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及其应用．2．会判定等差数列，了解等差数列与一次函数的关系.1．等差数列的定义如果一个数列从第___________项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个___________叫做等差数列的公差，通常用字母__________表示．2同一个常数常数d对定义的理解：(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．(4)定义还可以叙述为：在数列{an}中，若an－an－1＝d(n≥2)(或an＋1－an＝d)，d为常数，则{an}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝___________.a1＋(n－1)d3．等差数列的通项公式与一次函数的关系等差数列的通项公式一次函数解析式an＝dn＋(a1－d)y＝ax＋b(a≠0)定义域N*R图象图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点图象为一条直线d0时，为递增数列a0时为增函数d0时，为递减数列a0时为减函数单调性d＝0时，为常数列a≠01．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，则－89的项数为()A．92B．47C．46D．45解析：∵a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n，令3－2n＝－89，得n＝46.答案：C2．若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，①错．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，{an＋1－an}为常数列，故为等差数列．若{an}的公差为d，则(pan＋q)－(pan－1＋q)＝p(an－an－1)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故{2an＋n}是等差数列，所以②③④均是等差数列．答案：C3．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.解析：由题得a1＋6d－2a1＋3d＝－1，a1＋2d＝0，∴d＝－12.答案：－12典例精析规律总结课堂互动探究(1)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，求an；(2)已知公差大于零的等差数列{an}满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，求an.【分析】求等差数列的通项，只需计算出a1，d即可．【解】(1)设等差数列的公差为d，则由a3＝a22－4得：a1＋2d＝(a1＋d)2－4，又a1＝1，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，即d2＝4，∵{an}是递增的等差数列，∴d＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d0)，则由题可得a1＋2da1＋3d＝117，2a1＋5d＝22，解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3.【知识点拨】求等差数列的通项的方法是先根据题中条件列出a1与d的方程或方程组，再求出a1，d，再根据公式求出通项．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．解析：∵a1＝3，∴3＋d＋3＋4d＝36，∴d＝6，∴an＝3＋6(n－1)＝6n－3.答案：an＝6n－3等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.【分析】利用等差数列的通项公式，求首项a1及d时，可以运用方程(组)的思想．【解】(1)由题意知a1＋5－1d＝－1，a1＋8－1d＝2，解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意知a1＋a1＋6－1d＝12，a1＋4－1d＝7，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.【知识点拨】在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．(2018·河北邢台月考)在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝()A．－3B．－2C．0D．1解析：由题可知a1＋4d＝9，2a1＋2d＝a1＋d＋6，解得a1＝－3，d＝3.故选A.答案：A(2019·福建龙岩检测)已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝1an－1.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝an－an＋1an＋1－1an－1＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝1a1－1＝1，∴bn＝13n＋23，∴an－1＝3n＋2，∴an＝n＋5n＋2.【知识点拨】证明一个数列是等差数列要利用定义an－an－1＝d(d为常数，n≥2)．数列{an}满足：a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)若bn＝ann，求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)等式两边同除以n(n＋1)，得an＋1n＋1＝ann＋1，∴bn＋1＝bn＋1，∴数列{bn}是以1为公差的等差数列．(2)b1＝a11＝1，∴bn＝1＋(n－1)＝n，∴ann＝n，∴an＝n2.即学即练稳操胜券基础知识达标1．(2018·云南姚安月考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于()A.2B.3C.32D．2解析：∵A，B，C成等差数列，∴B－A＝C－B，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝1×323＝12，∵ab，∴A＝π6，∴C＝π2，∴S△ABC＝12ab＝12×1×3＝32，故选C.答案：C2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝2，则a5＝()A．9B．11C．16D．32解析：由题可知a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9.答案：A3．等差数列{an}中，若a1＝13，a2＋a5＝4，am＝33，则m的值是()A．50B．49C．48D．47解析：由题可得a1＝13，13＋d＋13＋4d＝4，∴d＝23，∴am＝13＋(m－1)×23＝33，∴m＝50，故选A.答案：A4．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝()A．10B．18C．20D．28解析：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝20，故选C.答案：C5．已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lgan}是等差数列．证明：设bn＝lgan，则bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝(n＋3)lg7－(n＋2)lg7＝lg7.所以数列{bn}是等差数列，即数列{lgan}是等差数列．