2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的递推公

2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的递推公式与通项公式登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．知识点|数列的递推公式阅读教材P30～P31，完成下列问题．‖知识梳理‖定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第1_____项(或某一项)开始的任一项2______与它的前一项3_____________(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．2anan－1‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．()(2)有些数列可能不存在最大项．()(3)递推公式是表示数列的一种方法．()(4)所有的数列都有递推公式．()解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项．(2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．(3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×‖小试身手‖1．符合递推关系式an＝2an－1的数列是()A．1,2,3,4，…B．1，2，2,22，…C.2，2，2，2，…D．0，2，2,22，…解析：选BB中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式an＝2an－1.故选B.2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A．－3B．－11C．－5D．19解析：选D由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.故选D.3．已知a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a6＝_____________.解析：由a1＝1，an＝1＋1an－1，得a2＝2，a3＝32，a4＝53，a5＝85，a6＝138.答案：138剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一数列的函数特性【例1】已知数列{an}的通项公式为an＝nn2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．[解]对于公式an＝nn2＋1，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝12，a2＝25，a3＝310，a4＝417，a5＝526.而an＋1－an＝n＋1n＋12＋1－nn2＋1＝1－n2－n[n＋12＋1]n2＋1.因为n∈N＋，所以1－n2－n0，所以an＋1－an0，即an＋1an，故该数列为递减数列.[方法总结]判断数列的单调性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法和作商法．作商法适用于数列的各项都是同号的数列，用作差法还是作商法视具体情况而定.1．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是()A.1214B．30C．31D．32解析：选Ban＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故选B.2．已知数列{an}的通项an＝nanb＋c(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是_____________．解析：∵a，b，c均为实数，f(x)＝axbx＋c＝ab＋cx在(0，＋∞)上是增函数，故数列an＝anbn＋c在n∈N＋时为递增数列，∴anan＋1.答案：an＋1an题型二数列的递推公式多维探究数列的递推公式，常见的角度有：1．由数列的递推公式写出数列的项．2．由数列的递推公式求通项公式．角度1由数列的递推公式写出数列的项【例2】已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的第5项．[解]∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.角度2由数列的递推公式求通项公式类型(1)累加法求形如an＋1＝an＋f(n)的通项【例3】已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋1nn－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[解](1)an＝an－1＋1nn－1(n≥2)，∴a2－a1＝12×1，a3－a2＝13×2，a4－a3＝14×3，…，an－an－1＝1nn－1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝12×1＋13×2＋14×3＋…＋1nn－1.又1nn－1＝1n－1－1n，∴an－a1＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1－1n，∴an＝a1＋1－1n＝2－1n＝2n－1n(n≥2)．a1＝1满足上式，∴an＝2n－1n(n∈N*).[方法总结]求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．类型(2)累乘法求形如an＋1＝f(n)an的通项【例4】已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式an.[解]∵(n＋1)an＋1＝nan，∴an＋1an＝nn＋1.∴a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n(n≥2)．以上各式相乘，得ana1＝1n.∵an＝a1n＝1n(n≥2)，又a1＝1满足上式，∴an＝1n(n∈N*)．3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n解析：选D∵an＋1－an＝－1，∴a2－a1＝－1，a3－a2＝－1，…an－an－1＝－1，以上n－1个等式累加得an－a1＝－(n－1)，∴an＝2－n＋1＝3－n.故选D.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＝a1＋…＋an－1(n≥2)，则当n≥2时，an等于()A．2nB．nn＋12C．2n－1D．2n－1解析：选C由an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，得an－1＝a1＋a2＋…＋an－2(n≥3)，两式相减得，an＝2an－1，即anan－1＝2(n≥3)，则an＝a2·a3a2·…·anan－1＝a2·2n－2，又a2＝a1＝2，∴an＝2n－1(n≥3)．又∵a2＝2也适合，∴an＝2n－1(n≥2)．故选C.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．掌握判断数列增减性的2种方法(1)作差法，将an＋1－an与0进行比较；(2)作商法，将an＋1an与1进行比较(在作商时，要注意an0还是an0)．2．记住数列的4种表示方法数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．辨明1个区别通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.「自测检评」1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，则此数列的第4项是()A．1B．12C.34D．58解析：选B由a1＝1，得a2＝12a1＋12＝1，依此类推a4＝12.2．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于()A.259B．2516C.6116D．3115解析：选C∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝94.同理a5＝2516，∴a3＋a5＝94＋2516＝6116.故选C.3．已知数列{an}满足a10，且an＋1＝nn＋1an，则数列{an}的最大项是()A．a1B．a9C．a10D．不存在解析：选A∵a10且an＋1＝nn＋1an，∴an0，an＋1an＝nn＋11，∴an＋1an，∴此数列为递减数列，故最大项为a1.故选A.4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析：选C∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k0.故选C.5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为an＝n2－21n＋20＝n－2122－3614，可知对称轴方程为n＝212＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{an}有：a1a2…a10＝a11a12…，故数列{an}没有最大项.