2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法课

第二章平面向量§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.1．向量求和的方法(1)三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫作向量a与b的和，记作______，即a＋b＝AB→＋BC→＝_____.a＋bAC→(2)平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A作AB→＝a，AD→＝b，再作平行AD→的BC→＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量_____叫作向量a与b的和，表示为_____＝a＋b.AC→AC→练一练(1)在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，则a＋b＋c＝________.答案：02．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________．b＋aa＋(b＋c)练一练(2)下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB→＋BA→＝0；③AC→＝DC→＋AB→＋BD→.A．②③B．②C．①D．③解析：∵AB→＋BA→＝0≠0，∴选B．答案：B1．如何计算两个向量的和？答：两个向量相加其和仍是一个向量．计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则．在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．共线的两向量相加，其结果怎样？答：(1)向量a与b同向(如图(1)所示)，即向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(2)向量a与b反向(如图(2)所示)，且|a|＜|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.典例精析规律总结课堂互动探究1向量加法的定义类型(1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.【解】(1)在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，再作向量OB→，则OB→＝a＋b.(2)在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，再作平行OB→的AC→＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，OC→＝a＋b.【方法总结】用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.解：在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，BC→＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB→＝a＋b，OC→＝a＋b＋c.2向量加法的运算类型化简下列各式：(1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.【解】(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝(DB→＋BC→)＋CD→＝DC→＋CD→＝0或DB→＋CD→＋BC→＝(DB→＋CD→)＋BC→＝(CD→＋DB→)＋BC→＝CB→＋BC→＝0.(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.【方法总结】化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→；(3)OA→＋FE→.解：由图可知：(1)OA→＋OC→＝OB→.(2)BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→.(3)OA→＋FE→＝OA→＋OD→＝0.3向量加法的应用类型某人在静水中游泳，速度为43km/h.(1)如果他径直游向对岸，水流的速度为4km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝什么方向游才能沿着与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】(1)如图1所示，设OA→为水流速度，OC→为此人的速度，则OB→为实际的速度，由平行四边形法则可知|AB→|＝|OC→|＝43，又|OA→|＝4，∴|OB→|＝432＋42＝8.tan∠AOB＝|AB→||OA→|＝3，则∠AOB＝60°.故此人沿与河岸夹角60°顺水方向前进，速度大小为8km/h.(2)同理如图2，此人沿着与河岸夹角的余弦值为33的角逆着水流方向前进，实际速度大小为42km/h.【方法总结】与速度、位移、力等矢量有关的题目可以借助向量方法解决．首先要准确作图，确定各向量间的夹角，向量的模，再结合向量的运算及其几何意义、三角知识解决．飞机从A地按北偏西75°的方向飞行200km到达B地，再从B地按北偏东45°的方向飞行200km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？解：如图所示，AB→表示飞机从A按北偏西75°飞行，且|AB→|＝200km；BC→表示飞机按北偏东45°的方向飞行，且|BC→|＝200km，因为AB→＋BC→＝AC→，所以AC→表示从A到C的位移．在△ABC中，|AB→|＝|BC→|＝200km，∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以|AC→|＝200km，C在A北偏西75°－60°＝15°.如图，已知平行向量a，b，求作a＋b.【错解】作OA→＝a，OB→＝b，则AB→＝a＋b就是求作的向量．【错因分析】两个向量反向，和向量的长度应为|b|－|a|，方向应与向量b的方向相同．【正解】作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b就是求作的向量．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一向量加法的几何意义1．在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→则()A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形解析：由向量加法的平行四边形法则可知，ABCD是平行四边形．答案：D2．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A．AB→＝CD→，BC→＝AD→B．AD→＋OD→＝DA→C．AO→＋OD→＝AC→＋CD→D．AB→＋BC→＋CD→＝DA→答案：C知识点二向量加法的运算3．下列各式中结果为0的个数为()①AB→＋BC→＋CA→；②(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→；③OA→＋OC→＋AO→＋CO→；④AB→＋CA→＋BD→＋DC→.A．1B．2C．3D．4解析：①AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0；②(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋OM→＋MB→＝AO→＋OB→＝AB→；③OA→＋OC→＋AO→＋CO→＝(OA→＋AO→)＋(OC→＋CO→)＝0＋0＝0；④AB→＋CA→＋BD→＋DC→＝CB→＋BC→＝0.答案：C知识点三向量加法的应用4．设向量a表示“向东走5km”，向量b表示“向南走5km”，则a＋b表示()A．向东走10kmB．向南走10kmC．向东南走10kmD．向东南走52km解析：如图所示，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝a＋b，|AB→|＝5，|BC→|＝5，且AB⊥BC，则|AC→|＝52，∠BAC＝45°.答案：D5．已知|OA→|＝3，|OB→|＝3，∠AOB＝60°，则|OA→＋OB→|＝________.解析：如图所示在平面内任取一点O，作向量OA→，OB→，以OA→，OB→为邻边作▱OACB，则OC→＝OA→＋OB→.由题意知四边形OACB为菱形，又∠AOB＝60°，所以|OC→|＝2×3×sin60°＝33.答案：33