2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-4 两条直线的交点课件 北师大版必修2

解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．4两条直线的交点课前自主预习一般地，如果两条不重合的直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.要判断它们是否平行，即看它们的_____是否相等．如果不等，则两直线______，问题就转化成二元一次方程组求解的问题．两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的_______；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的_______．因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的_________．斜率相交唯一解交点公共解1．若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？[答案]A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2＝0.2．已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？[答案]只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．课堂互动探究题型一两直线的交点问题【典例1】已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．[思路导引]求出交点坐标，第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零．[解析]由5x＋4y＝2a＋1，2x＋3y＝a，得x＝2a＋37，y＝a－27，由2a＋370，a－270，得a－32，a2.∴－32a2.[答案]－32，2[引申探究]若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？[解]由典例得交点坐标为2a＋37，a－27，则由2a＋370，a－270，得a－32.解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．[针对训练1]若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是()A．k－23B．k2C．－23k2D．k－23或k2[解析]由y＝kx＋k＋2，y＝－2x＋4，得x＝2－kk＋2，y＝6k＋4k＋2，由2－kk＋20，6k＋4k＋20，得－2k2，k－2或k－23，∴－23k2.故选C.[答案]C题型二共点问题【典例2】设三条直线x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．[思路导引]应用两直线相交的方法求值．[解]解法一：解方程组x－2y＝1，2x＋ky＝3，得x＝k＋6k＋4，y＝1k＋4.即前两条直线的交点为k＋6k＋4，1k＋4.因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故3k×k＋6k＋4＋4×1k＋4＝5，解得k＝1或k＝－163.解法二：过直线x－2y－1＝0与2x＋ky－3＝0的交点的直线可设为(x－2y－1)＋λ(2x＋ky－3)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(kλ－2)y－(1＋3λ)＝0.由题设三条直线交于一点知存在λ使该直线与直线3kx＋4y－5＝0重合，即1＋2λ3k＝kλ－24＝－1＋3λ－5，解得λ＝－2，k＝1或λ＝－2158，k＝－163.所以k的值为1或－163.证三线共点或据三线共点求系数值，一般是先求两条直线的交点，再将该点的坐标代入第三条直线的方程，得证或求出．[针对训练2]三条直线x＋y＝2，x－y＝0，x＋ay＝3能围成三角形，求a的取值范围．[解]当x＋y＝2与x＋ay＝3平行时，1·a－1×1＝0，即a＝1.当x－y＝0与x＋ay＝3平行时，1·a－(－1)·1＝0，即a＝－1.两直线x＋y＝2与x－y＝0必相交，由x＋y＝2，x－y＝0，得两直线交于(1,1)点．当x＋ay＝3过(1,1)点时，a＝2.∴三条直线围成三角形时，a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)∪(2，＋∞).题型三求过两条直线交点的直线方程【典例3】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．[思路导引]解法一：可先求出两直线的交点坐标，利用点斜式求直线的方程；解法二：可利用过两条直线交点的直线系方程求解．[解]解法一：解方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75，所以两直线的交点坐标为－35，－75.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3x＋35，即15x＋5y＋16＝0.[解]解法一：解方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75，所以两直线的交点坐标为－35，－75.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3x＋35，即15x＋5y＋16＝0.[引申探究]本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．[解]设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．[针对训练3]直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0[解析]设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.[答案]B