2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5

第1页第二章解三角形第2页§1正弦定理和余弦定理1．1正弦定理第3页要点1正弦定理(1)在一个三角形中，各边和所对角的正弦的比相等，即：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)．(2)正弦定理的三种变形．①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．第4页要点2三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin(A＋B2)＝cosC2；cos(A＋B2)＝sinC2；tan(A＋B2)＝cotC2．第5页要点3三角形的面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．要点4应用正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边；(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．第6页1．在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？第7页答：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sinB＝bsinAa.当bsinAa1时，则无解；当bsinAa＝1时，则有一解；当bsinAa1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若ab，即AB，则有两解．第8页2．在△ABC中，由sinAsinB一定能推出AB吗？答：能推出∵asinA＝bsinB，又∵sinAsinB，∴ab，根据大角对大边这一结论，∴AB.第9页授人以渔第10页题型一已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.第11页【解析】∵asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵bsinB＝csinC，第12页∴b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．第13页探究1已知两角及一边可用正弦定理求出三角形的其他元素，此类题有唯一解．第14页●思考题1(2015·潍坊一中月考)在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3第15页【解析】本题主要考查正弦定理和两角和的正弦公式．sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24.由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA.则BC＝sinAsinC×AB＝3sin45°sin75°＝3－3.【答案】A第16页题型二已知两边和其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，(1)a＝6，b＝2，B＝45°，求C；(2)A＝60°，a＝2，b＝233，求B；(3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.第17页【解析】(1)由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝6×222＝32.又0°A180°，∴A＝60°或120°.∴C＝75°或C＝15°.第18页(2)由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝233×322＝22.∴B＝45°或135°，但B＝135°时，135°＋60°180°，这与A＋B180°矛盾，∴B＝45°.第19页(3)由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝4×323＝231.∴这样的角B不存在．第20页【讲评】已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有两解，不必死记硬背某些结论．第21页探究2已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解，有解时一解还是两解，具体方法是：若给出的角是锐角，这个角的对边小于另一边，则有两解(如本例(1))．反之则只有一解(如本例(2))；或给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，有一解，反之则无解．判断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角(边)．第22页●思考题2(1)已知在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°第23页【解析】由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝2sin60°3＝22.又∵ab，∴AB，故A＝45°，选C.【答案】C第24页(2)在△ABC中，a＝1，b＝3，A＝45°.则满足此条件的三角形的个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A第25页(3)已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是________．第26页【解析】方法一：如图，点C到AB的距离为CD，CD＝22x，若三角形有两解，必须满足CD2x，即22x2x，∴2x22.第27页方法二：∵B＝45°，b＝2，要使三角形有两解，必须ab，A∈(45°，135°)，即x2.又∵xsinA＝2sin45°，∴x＝22sinA∈(2，22)．【答案】(2，22)第28页题型三判断三角形的形状例3在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．第29页【思路分析】观察条件等式的特点，为边角关系，首先应用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定理将角化为边的关系进行整理．第30页【解析】由已知，得a2sinBcosB＝b2sinAcosA.由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，得4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA.∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B.第31页∵2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【讲评】本题容易由sin2A＝sin2B得出2A＝2B，而忽略2A＝π－2B.第32页探究3已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法：①化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；②化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．第33页●思考题3根据下列条件，判断三角形形状．(1)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C；(2)在△ABC中，cosAa＝cosBb＝cosCc.第34页【解析】(1)△ABC为等腰直角三角形．(2)由已知，得cosAsinA＝cosBsinB.∴cosA·sinB＝cosB·sinA.∴tanA＝tanB.∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B.同理可证：B＝C.∴三角形为等边三角形．【答案】(1)等腰直角三角形(2)等边三角形第35页课后巩固第36页1．在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有()A.asinAbsinBB.asinAbsinBC.asinA＝bsinBD．以上结论都不对答案C解析由正弦定理，知asinA＝bsinB.第37页2．在△ABC中，若sinAsinB，则有()A．abB．a≥bC．abD．a，b的大小无法判定答案C第38页3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°第39页答案B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sinC，得sinC＝32.又角C为锐角，故C＝60°.第40页4．已知在△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得()A．一解B．两解C．无解D．解的个数不确定答案C第41页5．在△ABC中，已知c＝102，a＝2033，A＝45°，则C＝________．答案60°或120°第42页6．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．第43页解析由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)．将原等式化为8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC.即cos(B＋C)＝0.∴B＋C＝90°，即A＝90°.故△ABC为直角三角形．第44页