2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形 1.1 正弦定理课件 北师大版必修5

第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题．(重点、难点)1.通过正弦定理的推导提升逻辑推理的素养．2．通过利用正弦定理解三角形，培养数学运算的素养.自主预习探新知1．正弦定理阅读教材P45～P46例1以上部分，完成下列问题．语言表述在一个三角形中，各边和________________的比相等符号表示___________________比值的含义_______________________(其中R为△ABC的___________)它所对角的正弦asinA＝bsinB＝csinCasinA＝bsinB＝csinC＝2R外接圆半径变形(1)a＝_______，b＝_______，c＝_________(2)sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____(3)a∶b∶c＝____________________作用揭示了三角形边、角之间的数量关系2Rsin_A2RsinB2Rsin_CsinA∶sinB∶sinCa2Rb2Rc2R正弦定理的推导：当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，CD＝_____，CD＝______，所以______＝______，得到asinA＝bsinB.asinBbsinAasinBbsinA同理，在△ABC中bsinB＝csinC.从以上的讨论和探究可得_____＝_____＝csinC.asinAbsinB思考：(1)在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？[提示]能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝bsinAsinB，c＝bsinCsinB，可求边a和c．(2)在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sinA＞sinB?[提示]能得到，由a＞b，且a＝2RsinA，b＝2RsinB，可得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB．2．三角形面积公式阅读教材P47～P48问题3，完成下列问题．三角形ABC的面积：S＝_________＝_________＝________．12absinC12acsinB12bcsinA思考：(1)在△ABC中，若已知边a，b和角B，能否确定△ABC的面积？[提示]不能，因为由条件不能得到角C，故不能求其面积．(2)若已知△ABC的边a，c和角B，选择哪个公式求△ABC的面积？[提示]S＝12acsinB．B[在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.]1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A．ab＝cosAcosBB．ab＝sinAsinBC．asinB＝bcosAD．acosB＝bsinA45°[根据正弦定理知sinAa＝sinBb，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°B180°，所以B＝45°.]2．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的值为________．33[由正弦定理得sinA＝asinBb＝2sin60°3＝33.]3．在△ABC中，若a＝2，b＝3，B＝60°，则sinA＝________.合作探究提素养利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；(2)若B＝30°，b＝5，c＝53，求A、C与a.[解](1)由三角形内角和定理，得：C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝asinBsinA＝2sin30°sin45°＝2×1222＝2，sin105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24，c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1.(2)∵b＝5，c＝53，B＝30°，∴c·sinBbc，∴△ABC有两解，由正弦定理得：sinC＝csinBb＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10；当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5.1．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知△ABC的两边a，b和角A，判断三角形解的个数，有以下三种方法法一：作图判断．作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．法二：根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sinB＝bsinAa，当bsinAa＞1时，无解；当bsinAa＝1时，有一解；当bsinAa＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，有一解；如果a＜b，即A＜B，有两解．法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个数．1．(1)在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则角C等于()A．π4或3π4B．3π4C．π4D．π6(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，sinB＝6365，a＝1，则b＝________.(1)C(2)2113[(1)由正弦定理，得sinC＝sinA·ABBC＝22.因为BCAB，所以AC，则0Cπ3，故C＝π4.(2)因为A为△ABC的内角，且cosA＝45，所以sinA＝35，又a＝1，sinB＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝sinBsinA＝6365×53＝2113.]判断三角形的形状【例2】在△ABC中，已知acosB＝bcosA，试判断△ABC的形状．[解]由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，即sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0，因为A，B为△ABC的内角，故A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、纯角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．2．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断三角形的形状．[解]由已知得a2sinBcosB＝b2sinAcosA，由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，得4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.∴2A＋2B＝π或2A＝2B．∴A＋B＝π2或A－B＝0.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形的面积[探究问题]1．已知△ABC中的边a和b，角B，能否确定△ABC的面积？[提示]不一定，因为△ABC可能有一解或两解，也可能无解．2．已知△ABC的边a和b，角C，能否确定△ABC的面积．[提示]能，可由公式S△ABC＝12absinC求得．3．已知在△ABC中，cos∠BAC＝223，AB＝2，AC＝3，求△ABC的面积．[提示]由cos∠BAC＝223得sin∠BAC＝13，则△ABC的面积为S＝12×AB×AC×sin∠BAC＝12×2×3×13＝1.【例3】在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.思路探究：cosB2＝255⇒sinB⇒sinA⇒求边c⇒△ABC的面积．[解]∵cosB2＝255，∴cosB＝2cos2B2－1＝35.∴B∈0，π2，∴sinB＝45.∵C＝π4，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.∵asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝27210×22＝107.∴S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.1．(变条件)在例3中，把条件换为“已知b＝1，B＝30°，c＝3”，求△ABC的面积．[解]由正弦定理bsinB＝csinC得sinC＝csinBb＝32，故C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×3×1＝32；当C＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×3×12＝34.综上所述△ABC的面积为32或34.2．(变结论)在例3中，若已知D是△ABC的边AC上一点，且CD＝2，求△ABD的面积．[解]法一：由例3的解答可知sinB＝45，sinA＝7210，c＝107，由正弦定理b＝asinBsinA＝2×457210＝827，又CD＝2，所以AD＝827－2＝27，所以S△ABD＝12×AB×AD×sinA＝12×107×27×7210＝17.法二：由例3的解答可知S△ABC＝87，又S△BCD＝12×CB×CD×sinC＝12×2×2×22＝1，所以S△ABD＝S△ABC－S△BCD＝87－1＝17.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式．(1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha、hb、hc分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求另外两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．当堂达标固双基1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a＝2bcosC，则这个三角形一定是等腰直角三角形．()(2)在△ABC中，若sinA＝12，则A＝π6.()(3)在△ABC中，a≥bsinA一定成立．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)错误，由正弦定理，a＝2bcosC可化为sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，所以sin(B－C)＝0，得B＝C，故△ABC是等腰三角形．(2)错误，由sinA＝12得A＝π6或5π6.(3)正确．C[由正弦定理得a＝bsinAsinB＝2×3222＝6.]2．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于()A．2B．3C．6D．3332[S△ABC＝12bcsinA＝12×2×3×32＝332.]3．在△ABC中，A＝60°，b＝2，c＝3，则△ABC的面积等于________．4．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＝sin2C．求证：△ABC为直角三角形．[证明]由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC.设asinA＝k，sin2A＝a2k2，sin2B＝b2k2，sin2C＝c2k2.∵sin2A＋sin2B＝sin2C，∴a2k2＋b2k2＝c2k2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形．