2019-2020学年高中数学 第2章 几个重要的不等式 3 3.1 数学归纳法课件 北师大版选修4

第二章几个重要的不等式§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤．(重点)2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题．(难点)自主预习探新知教材整理数学归纳法阅读教材P36～P37“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于________的命题，若当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取________个值时该命题成立，则该命题对一切自然数________都成立．正整数n第k＋1n≥n02．数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取____________(如n0＝1或2等)时命题正确．(2)假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当__________时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．第一个值n0n＝k＋1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(n－2)×180°”时，验证的第一个值是3.()(2)用数学归纳法证明只与自然数n有关的命题时，第二步中在假设n＝k(k≥n)成立时，总是证明n＝k＋1时也成立.()(3)使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设.()[解析](1)√因为边数最少的多边形是三角形．(2)×在证只与正整数有关的命题时，在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋2时也成立．(3)×用数学归纳法证题中必须使用归纳假设．[答案](1)√(2)×(3)×合作探究提素养数学归纳法的概念【例1】用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an+1＝1－an+21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[精彩点拨]只需把n＝1代入，观察式子左边规律即得答案．[自主解答]实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an+1，因此n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.[答案]C验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出n＝n0时的命题.1．若f(k)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，则f(k＋1)＝f(k)＋__________.[解析]f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1－12k＋1.[答案]12k＋1－12k＋2用数学归纳法证明等式【例2】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N＋)．[精彩点拨]要证的等式左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．[自主解答]①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，对任意n∈N＋，等式成立．用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(其中n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝141＋1＝18，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即12×4＋14×6＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立.则n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14[k＋1＋1]，即n＝k＋1时等式成立．由(1)，(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立.数学归纳法证明猜想[探究问题]1．数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？[提示]在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时命题成立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立．2．如何理解归纳假设在证明中的作用？[提示]归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．3．若数列{an}中，a1＝1，an＝2a2n－1＋1.那么a2，a3，a4分别是多少？你能猜想出an吗？能否通过数学归纳法证明．[提示]由题意可以求出a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，可以猜想an＝2n－1，然后可以用数学归纳法证明．【例3】设f(n)0(n∈N＋)，对任意正整数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[精彩点拨]先求f(1)，f(2)，f(3)→归纳猜想f(n)→用数学归纳法证明．[自主解答](1)由于对任意正整数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.①当n＝1时，f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k+1，这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．由①，②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立．1．切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法．2．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”．3．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解](1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5，n＝1，5×2n-2，n≥2.(2)证明：当n＝1时，猜想显然成立．①当n＝2时，a2＝5×22-2＝5，猜想成立．②假设n＝k时猜想成立，即ak＝5×2k-2(k≥2，k∈N＋)，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k-2＝5＋51－2k-11－2＝5×2k-1＝5×2(k+1)-2.故n＝k＋1时猜想也成立．根据①②可知，对任意n≥2，n∈N＋，有an＝5×2n-2.所以数列{an}的通项an＝5，n＝1，5×2n-2，n≥2.当堂达标固双基1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]当n＝1时左边有2×1＋1＝3项，所以左边所得的代数式为1＋2＋3.[答案]C2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0[解析]边数最少的凸n边形是三角形．[答案]C3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为()A．2k－2B．2k－1C．2kD．2k＋1[解析]等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)，∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.[答案]D4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝__________时命题也成立．[解析]两个奇数之间相差2，所以n＝k＋2.[答案]k＋25．用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n.[证明](1)n＝1时，左边＝右边＝12，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即12＋122＋…＋12k＝1－12k.那么当n＝k＋1时，12＋122＋…＋12k＋12k+1＝1－12k＋12k+1＝1－2·12k+1＋12k+1＝1－12k+1，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n∈N＋命题成立．