2019-2020学年高中数学 第2章 概率 3 条件概率与独立事件（第1课时）条件概率课件 北师大

第二章概率§3条件概率与独立事件第1课时条件概率学习目标核心素养1.了解条件概率的概念．(重点)2．掌握条件概率的两种方法．(重点)3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(难点)通过对条件概率的学习，培养“逻辑推理”、“数学抽象”、“数学运算”的数学素养.自主预习探新知1．条件概率(1)条件概率的定义B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为____________．P(A|B)(2)条件概率公式①当P(B)0时，有P(A|B)＝______(其中，A∩B也可以记成____)；②当P(A)0时，有P(B|A)＝________.PABPBABPABPA思考：事件P(B|A)与事件P(A|B)有什么不同？[提示]P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈__________．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[0,1]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1．()(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A,B同时发生．()[答案](1)×(2)√2．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)为()A．950B．12C．910D．14B[P(B|A)＝PABPA＝12.]3．下列式子成立的是()A．P(A|B)＝P(B|A)B．0P(B|A)1C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)D．P(A∩B|A)＝P(B)C[根据条件概率的计算公式可知选项C正确．]4．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.12[P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝P(A)·P(B)＝14，故P(B|A)＝PABPA＝12.]合作探究提素养利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.用定义法求条件概率PB|A的步骤1分析题意，弄清概率模型；2计算PA，PAB；3代入公式求PB|A＝PABPA.1．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A．75%B．96%C．72%D．78.125%C[记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P(A)＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%;故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.]利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝nAnΩ＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝nABnΩ＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝PABPA＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nABnA＝1220＝35.缩减基本事件法求条件概率1在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即PB|A.2在原样本空间Ω中，先计算PAB，PA，再利用公式PB|A＝PABPA计算求得PB|A.3条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求PB|A，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即PB|A＝nABnA＝nABnΩnAnΩ＝PABPA.2．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．[解]令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，法一：n(A)＝C16C19，n(AB)＝C16C15，故P(B|A)＝nABnA＝C16C15C16C19＝59.法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(B|A)＝C15C19＝59.条件概率性质的应用[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.【例3】将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．思路探究：设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．[解]设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15.事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝12×710＋45×310＝59100.利用条件概率性质的解题策略,1分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式PB∪C|A＝PB|A＋PC|A.2分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．[解]设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝5100×100200＋0.25100×100200＝21800.(2)P(A|C)＝PACPC＝520021800＝2021.计算条件概率要明确(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约．(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．当堂达标固双基1.若P(AB)＝35，P(A)＝34，则P(B|A)＝()A．54B．45C．35D．34B[由公式得P(B|A)＝PABPA＝3534＝45.]2．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝PBPA是可能的C．0＜P(B|A)＜1D．P(A|A)＝0B[由条件概率公式P(B|A)＝PABPA及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝PBPA，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.]3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．13[因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.]4．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．415[记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝410×69＝415.]5．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解]法一：(定义法)由题意得球的分布如下：玻璃球木质球总计红235蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝PABPA＝141116＝411.法二：(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，∴P(B|A)＝nABnA＝411.