2019-2020学年高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第4课时 弦切角的性质课件 新人教A版选

第4课时弦切角的性质1．顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆______的角叫作弦切角．2．弦切角定理：弦切角____________它所夹的弧所对的____________．相切等于圆周角1．如图，直线DE与圆O相切于点A，则下列各角中与∠BAE相等的是()A．∠CADB．∠ACBC．∠AOBD．∠OAB【答案】B【解析】∠BAE是弦切角，所夹弧为AB︵，∠ACB是AB︵所对的圆周角，由弦切角定理可得∠ACB＝∠BAE.故选B．2．如图，△ABC内接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD＝60°，则∠ACB＝()A．120°B．150°C．90°D．100°【答案】A【解析】在优弧AB上取一点，连接AE，BE，∠BAD是弦切角，则∠AEB＝∠BAD＝60°，∴∠ACB＝180°－∠AEB＝120°.3．如图，直线BC切⊙O于B，AB＝AC，AD＝BD，则∠A＝()A．35°B．36°C．40°D．50°【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD．∵直线BC切⊙O于B，∴∠CBD＝∠A．又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°.故选B．4．如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC＝2，∠BCD＝30°，则圆O的半径为________．【答案】2【解析】由弦切角定理和圆心角定理，可知弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．连接OB，OC，则∠BOC＝60°.又OB＝OC，所以△OBC是等边三角形，OB＝BC＝2.【例1】如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD．弦切角定理【解题探究】要证AC平分∠BAD，需证∠DAC＝∠BAC，只要证明∠DCA＝∠CBA即可．【证明】连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＋∠CAB＝90°.∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.∵AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B．∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD．证明此题的关键是弦切角∠DCA等于同弧所对的圆周角∠CBA．利用弦切角等于同弧所对的圆周角是证明角相等的一般方法．1．(2016年太原模拟)如图所示，点A,B,C在圆O上，BD是圆O的切线且BA＝BC，求证：AC∥BD．【证明】因为BD为圆O切线，所以∠DBC＝∠BAC．又因为BA＝BC，所以∠BAC＝∠BCA．所以∠DBC＝∠BCA，AC∥BD．【例2】如图所示，AD是圆内接△ABC的∠BAC的平分线，交圆于D，E为BC的中点且DE⊥BC，又BF为圆的切线，DF⊥BF，求证：DE＝DF.弦切角定理的应用【解题探究】要证线段相等的一般方法是先证两线段所在的两个三角形全等．可通过证明△BED≌△BFD，从而问题得证．【证明】连接BD．∵BF为圆的切线，∴∠FBD＝∠BAD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC．∴∠FBD＝∠DAC．又∵∠CBD＝∠DAC，∴∠FBD＝∠CBD．又DE⊥BC，DF⊥BF，∴△BED≌△BFD，故DE＝DF.由弦切角定理得到角的等式，再结合三角形的全等或相似，是证明线段相等或角相等的常用方法．2．如图所示，圆O1和圆O2相交于A，B两点，两圆都与直线CD相切且切点分别为点C，D，若∠CBD＝130°，则∠CAD＝________.【答案】50°【解析】连接AB，在圆O1中，由弦切角定理可得∠CAB＝∠BCD；在圆O2中，由弦切角定理可得∠DAB＝∠BDC，所以∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝∠BCD＋∠BDC．在△BCD中，由内角和为180°，可得∠BCD＋∠BDC＝180°－∠CBD＝50°，所以∠CAD＝50°.【例3】如图所示，已知圆上的AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD．【解题探究】(1)∠ACE是弦切角，要证弦切角等于圆周角可利用弦切角定理；(2)要证线段成比例，可证三角形相似．【证明】(1)∵AC︵＝BD︵，∴∠BCD＝∠ABC．又∵EC与圆相切于点C，∴∠ACE＝∠ABC．∴∠ACE＝∠BCD．(2)∵EC与圆相交于点C，∴∠BCE＝∠BDC．又∵∠EBC＝∠BCD，∴△BDC∽△ECB．∴BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD．有弦切角立即想到弦切角定理是我们解决有关弦切角问题的一般思维模式．3．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6cm，BC＝4cm，求AE的长．【解析】(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3.所以∠2＝∠3.又因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.又因为∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，所以△ABE≌△ACD．(2)因为∠3＝∠2，∠BCE＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，BCAC＝CECB，所以AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103cm.在运用弦切角时，首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切角，然后运用弦切角进行相关的计算、论证．弦切角的运用主要体现在以下几个方面：(1)证明角相等由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需借助其他几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)证明直线平行弦切角定理构建了角与角的相等关系，而直线的平行是以角的关系为基本条件的，因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推理论证直线的平行．如图所示，若CD切圆O于点M，弦AM与弦BM相等，则由∠CMA＝∠B，∠A＝∠B得到∠CMA＝∠A，从而CD∥AB．(3)证明线段相等借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．(4)证明三角形相似在圆中有丰富的相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的．由此可见，弦切角是很重要的与圆相关的角．其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角、圆周角等)，是架设圆与三角形全等、三角形相似、与圆相关的各种直线(如弦、割线、切线)位置关系的桥梁，因而弦切角也是证明与圆有关的几何定理的关键环节(如证明切割线定理)．