2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、圆的

第二讲参数方程一曲线的参数方程第一课时参数方程的概念、圆的参数方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解引入参数方程的必要性，理解参数方程、普通方程的概念．2．掌握圆的参数方程及其参数的意义，并能运用圆的参数方程解决简单的最值问题．‖知识梳理‖1．参数方程的概念(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数_________.①(2)对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的__________，联系变数x，y的变数t叫做________，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．x＝ft，y＝gt参数方程参变数2．圆的参数方程x2＋y2＝r2的参数方程为____________(θ为参数)．(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝_________，y＝_________(θ为参数)．x＝rcosθ，y＝rsinθa＋rcosθb＋rsinθ解剖难点探究提高重点难点突破参数方程中的参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数，参数的选取一般需注意两点：①x，y的值可由参数唯一确定；②参数x，y的关系比较明显，容易列出方程．圆x2＋y2＝r2的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ中参数θ的几何意义是射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x，y)为圆上的任一点)位置时转过的角度．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ，其中圆心C(a，b)，其参数θ的几何意义是过C做CM0∥x轴交圆于点M0(如图所示)，CM0绕点C逆时针旋转到CM位置时转过的角度．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一参数方程的概念在直角坐标系xOy中，已知曲线C1x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)，与曲线C2x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.【思路探索】欲解此题应先求出C1与x轴的交点，再把这个点代入C2中，即可求出a的值．【解析】由x＝t＋1，y＝1－2t，令y＝0，得t＝12，x＝12＋1＝32.∴曲线C1与x轴的交点为32，0.由题意得点32，0在曲线C2上，∴asinθ＝32，3cosθ＝0，∴cosθ＝0，a＝32sinθ，又a＞0，∴a＝32.【答案】32[名师点拨]若点(x0，y0)在曲线x＝ft，y＝gt上，则一定有x0＝ft，y0＝gt.常用它验证点是否在曲线上.(2019·中卫一中月考)已知曲线C的参数方程是x＝1＋2t，y＝at2(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．(1)求常数a的值；(2)判断点A(1,0)，B(3，－1)是否在曲线C上．解：(1)将点M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程，得－3＝1＋2t，4＝at2，解得t＝－2.a＝1.∴常数a的值为1.(2)由(1)知，曲线C的参数方程是x＝1＋2t，y＝t2，将点A(1,0)代入参数方程，得1＝1＋2t，0＝t2，解得t＝0，∴点A(1,0)在曲线C上．将点B(3，－1)代入参数方程，得3＝1＋2t，－1＝t2，方程组无解，∴点B(3，－1)不在曲线C上．题型二圆的参数方程点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ，以φ为参数，求圆的参数方程．【思路探索】画出示意图，找出圆上的点M与参数φ之间的关系，然后写出参数方程．【解】如图所示，设M(x，y)，圆心为C(r,0)，连接CM，OM.①当M在x轴上方时，∠MOx＝φ，则∠MCx＝2φ.∴x＝r＋rcos2φ，y＝rsin2φ.②当M在x轴下方时，∠MCx＝－2φ.∴x＝r＋rcos－2φ，y＝－rsin－2φ，即x＝r＋rcos2φ，y＝rsin2φ.③当M在x轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为x＝r＋rcos2φ，y＝rsin2φφ为参数，且－π2≤φ≤π2.[名师点拨]求曲线参数方程的主要步骤是：(1)建立直角坐标系，设M(x，y)为轨迹上任意一点，画出示意图．(2)选择适当的参数，参数的选择应注意两点：一是曲线上每一点的坐标x、y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x、y的值由参数唯一确定．(3)根据问题的已知条件，图形的几何性质，物理意义等建立x、y与参数的函数关系．(4)注意参数的取值范围，有限制的要标注出来.(2019·天津卷)设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆x＝2＋2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)相切，则a的值为________．解析：圆x＝2＋2cosθ，y＝1＋2sinθ化为普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，由直线与圆相切，则有|2a＋1|a2＋1＝2，解得a＝34.答案：34题型三圆的参数方程的应用已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【思路探索】(1)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入极坐标方程，可得普通方程，从而可得圆的参数方程．(2)利用圆的参数方程把x＋y转化为三角函数问题，由三角函数的性质可求得x＋y的最值．【解】(1)由ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0，得ρ2－42ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得普通方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.将普通方程化为标准形式，得(x－2)2＋(y－2)2＝2.令x－2＝2cosθ，y－2＝2sinθ，得圆的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)．(2)由(1)知x＋y＝4＋2(cosθ＋sinθ)＝4＋2sinθ＋π4，∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴2≤x＋y≤6.∴x＋y的最大值为6，最小值为2.[名师点拨]利用圆的参数方程求最值时，可以用参数方程表示曲线上点的坐标，再利用三角函数的有界性求解或者把圆的参数方程化成普通方程求解.(2019·枣庄检测)已知曲线C：ρ2＝4ρsinθ＋π6－3，求：(1)曲线C的参数方程；(2)曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标．解：(1)由曲线C：ρ2＝4ρsinθ＋π6－3，得ρ2＝23ρsinθ＋2ρcosθ－3，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直角坐标方程为x2＋y2＝23y＋2x－3，化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，∴曲线C的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝3＋sinφ(φ为参数)．(2)∵|OP|2＝(1＋cosφ)2＋(3＋sinφ)2＝5＋23sinφ＋2cosφ＝5＋4sinφ＋π6，∴当φ＋π6＝－π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－2π3，k∈Z时，|OP|最小．此时点P的坐标为12，32.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．曲线x＝3－2t，y＝1＋2t(t为参数)与坐标轴的交点是()A．(4,0)，(0,4)B．(－4,0)，(0,4)C．(4,0)，(0，－4)D．(－4,0)，(0，－4)解析：由x＝3－2t，y＝1＋2t得x＋y＝4.令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝4.∴曲线与坐标轴的交点为(0,4)，(4,0)．答案：A2．(2019·衡水期中)直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：将圆：x＝2cosθ，y＝2sinθ化为普通方程，得x2＋y2＝4，所以圆心为(0,0)，其到直线3x－4y－9＝0的距离d＝|3×0－4×0－9|32＋42＝95＜2，所以直线与圆相交，又因为d＞0，所以直线不过圆心，故选D．答案：D3．曲线x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)所表示图形的面积为()A．2πB．πC．16πD．4π解析：由x＝2cosθ，y＝2sinθ知x2＋y2＝4表示以原点为圆心，以2为半径的圆，∴其面积S＝4π.答案：D4．(2019·苏州检测)已知F是曲线x＝22cosθ，y＝1＋cos2θ(θ为参数，θ∈R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于________．解析：曲线的参数方程为x＝22cosθ，y＝1＋cos2θ＝2cos2θ(θ为参数，θ∈R)，消去参数θ，得x2＝4y，∴其焦点F(0,1)，∵A(1,0)，∴|AF|＝2.答案：25．设方程x＝1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)表示的曲线为C.求曲线C上的动点到原点O的距离的最值．解：x＝1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)化为普通方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，它表示以C(1，3)为圆心，以1为半径的圆，设P为圆上的任意一点，∴|OP|min＝|OC|－1＝12＋32－1＝1，|OP|max＝|OC|＋1＝12＋32＋1＝2＋1＝3.