2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第5课时 双曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-

第5课时双曲线的参数方程双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，参数方程为____________(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2；x＝asecφ，y＝btanφ(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，参数方程为__________________(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2；(3)中心在点(m，n)的双曲线方程，如：x－m2a2－y－n2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程可表示为____________(φ为参数)，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2．x＝btanφ，y＝asecφx＝m＋asecφ，y＝n＋btanφ1．双曲线x＝23secθ，y＝6tanθ(θ为参数)的焦点坐标为()A．(±3，0)B．(±43，0)C．(0，±3)D．(0，±43)【答案】B【解析】化为普通方程为x212－y236＝1，a＝23，b＝6，所以c＝a2＋b2＝43，焦点坐标为(±43，0)．2．双曲线x＝tanθ，y＝2secθ(θ为参数)的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±12xC．y＝±4xD．y＝±2x【答案】D【解析】化为普通方程为y24－x2＝1，a＝2，b＝1，渐近线方程为y＝±abx＝±2x．3．双曲线x＝32secφ，y＝23tanφ(φ为参数)上一点P是φ＝π4对应的点，则直线OP的倾斜角是______________．【答案】π6【解析】x＝32secπ4＝6，y＝23tanπ4＝23，kOP＝yx＝33，所以倾斜角为π6．4．已知定点A(0,4)和双曲线x2－4y2＝16上的动点B，点P分有向线段AB的比为1∶3，求点P的轨迹方程．【解析】双曲线方程为x216－y24＝1，设点B(4secθ，2tanθ)，P(x，y)，AP→＝(x，y－4)，PB→＝(4secθ－x,2tanθ－y)，由题意PB→＝3AP→，得4secθ－x＝3x，2tanθ－y＝3y－4，x＝secθ，y＝3＋12tanθ，消去参数得普通方程为x2－4(y－3)2＝1．【例1】将参数方程x＝et＋e－t，y＝2et－e－t(t为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线？【解题探究】观察方程特点，消去参数t即可得普通方程．曲线的多种参数方程【解析】解法一：x＝et＋e－t，y2＝et－e－t⇒x＋y2＝2et，x－y2＝2e－t⇒x＋y2·x－y2＝4⇒x2－y24＝4，即x24－y216＝1.又et＞0，e－t＞0，所以x＝et＋e－t≥2．所以普通方程为x24－y216＝1(x≥2)，表示中心在原点，焦点在x轴的双曲线的右支．解法二：x＝et＋e－t，y2＝et－e－t⇒x2＝e2t＋e－2t＋2，y22＝e2t＋e－2t－2⇒x2－y24＝4⇒x24－y216＝1，又et＞0，e－t＞0，所以x＝et＋e－t≥2．所以普通方程为x24－y216＝1(x≥2)，表示中心在原点，焦点在x轴的双曲线的右支．曲线的参数方程不是唯一的，本题中的方程也是双曲线的一种参数方程．判断是否某种曲线的参数方程，可通过消参化为普通方程判断．在消参的过程中要注意变换后x，y的取值范围．1．将参数方程x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线？【解析】解法一：x＝t＋1t，y＝t－1t⇒x＋y＝2t，x－y＝2t⇒(x＋y)(x－y)＝4⇒x24－y24＝1，所以普通方程为x24－y24＝1，表示中心在原点，焦点在x轴的双曲线．解法二：x＝t＋1t，y＝t－1t⇒x2＝t＋1t2y2＝t－1t2⇒x2－y2＝4⇒x24－y24＝1，所以普通方程为x24－y24＝1，表示中心在原点，焦点在x轴的双曲线．【例2】求点A(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离．【解题探究】可设双曲线的参数方程形式，将距离用三角形式表示出来，则只含有参数一个变量．双曲线的最值问题【解析】双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ0≤θ＜2π，θ≠π2，θ≠3π2，设双曲线上任一点P(secθ，tanθ)，则|AP|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝1＋tan2θ＋tan2θ－4tanθ＋4＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3，∴当tanθ＝1时，|AP|2最小值为3，即|AP|min＝3.此时点P坐标为(2，1)或(－2，1)．圆、椭圆、双曲线的参数方程实际上都是三角代换，所以经常在求和最值有关的问题时，将其方程转化为参数方程形式．2．已知M(x，y)在参数方程x＝2secθ，y＝tanθ(θ为参数)上，求M到N(－3,0)的距离的最小值．【解析】∵M在双曲线x＝2secθ，y＝tanθ上，∴M到N(－3，0)的距离为|MN|，则|MN|2＝(2secθ＋3)2＋tan2θ＝8＋12cosθ＋5cos2θ，设1cosθ＝t，则t≥1或t≤－1.∴f(t)＝5t2＋12t＋8＝5t＋652＋45，当t＝－65时，f(t)取得最小值45，∴|MN|的最小值为255．【例3】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点．求直线MB，CN的交点P的轨迹方程．【解题探究】设出点B，C的参数坐标形式，则可用一个参数表示出直线MB，CN的方程，消去参数，即可得点P的轨迹方程．双曲线的轨迹问题【解析】由题可知M(－a,0)，N(a,0)，设点B(asecθ，btanθ)，则点C(asecθ，－btanθ)，∴直线MB的方程为y＝btanθa＋asecθ(x＋a)，直线CN的方程为y＝btanθa－asecθ(x－a)．则交点P满足y＝btanθa＋asecθx＋a，y＝btanθa－asecθx－a，将两式相乘得y2＝b2tan2θa2－a2sec2θ(x2－a2)＝－b2a2·(x2－a2)，即a2y2＝－b2(x2－a2)，得点P的轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1．求相关动点的轨迹方程时，可先把曲线用参数方程表示，将已知动点用参数形式表示，从而将所求动点也用参数表示，消去参数即可得所求的轨迹方程．本题体现了用双曲线的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程有时使问题变得更简洁．3．直线AB过双曲线x2a2－y2b2＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点．求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值．双曲线的参数方程为x＝acosφ，y＝btanφ(φ为参数)．如图所示，设Pacosα，btanα，Aacosθ，btanθ．∵AB过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，于是有B－acosθ，－btanθ，从而kPA·kPB＝btanα－tanθa1cosα－1cosθ·btanα＋tanθa1cosα＋1cosθ＝b2tan2α－tan2θa21cos2α－1cos2θ＝b2a2为定值．1．sec2φ－tan2φ＝1．2．在利用x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecφ，btanφ)．