2019-2020学年高中数学 第1章 数列 1.3.1.1 等比数列（第一课时）课件 北师大版必修

第1页§3等比数列3．1等比数列(第一课时)第2页要点1等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．第3页要点2通项公式(1)等比数列的通项公式an＝a1·qn－1．(2)公式的推广：an＝am·qn－m．要点3等比中项(1)定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成为等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．(2)关系式：G2＝ab，即G＝±ab．第4页1．等比数列中是否有等于0的项？公比是否能为0?答：没有；不能．第5页2．对等比数列概念的理解．答：(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与它的前一项的比”相吻合；其二：定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作商．第6页(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二强调这两项必须相邻．(3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是等比数列．第7页3．对等比中项的两点说明．答：(1)若ab0，则a，b的等比中项有两个，为±ab；若ab0，则a，b没有等比中项．(2)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如a＝G＝b＝0.第8页授人以渔第9页题型一等比数列的概念例1试判别下列数列是否为等比数列：(1)an＝(－1)n－1(3)n，n∈N*；(2)an＝(－2)n－3，n∈N*；(3)an＝n×2n，n∈N*；(4)an＝－1，n∈N*.第10页【思路分析】只需研究an＋1an的值是否为常数，而不管n(n∈N*)如何变化．【解析】(1)由题意得an＝(－1)n－1(3)n，an＋1＝(－1)n(3)n＋1，则有an＋1an＝（－1）n（3）n＋1（－1）n－1（3）n＝－3.∴这个数列是等比数列．第11页(2)由题意得an＝(－2)n－3，an＋1＝(－2)n－2，则an＋1an＝（－2）n－2（－2）n－3＝－2.∴这个数列是等比数列．第12页(3)由题意可得an＝n×2n，an＋1＝(n＋1)×2n＋1，an＋1an＝（n＋1）×2n＋1n×2n＝2×n＋1n＝2＋2n，这个比值随n的取值不同而不同，即它不恒为常数，所以这个数列不是等比数列．(4)由题意得an＋1＝an＝－1，则an＋1an＝－1－1＝1.∴这个数列是等比数列．第13页探究1如果一个数列{an}的各项符合关系式an＋1an＝q(常数)，或anan－1＝q(n≥2)，即该数列是等比数列．反之，该数列不是等比数列．第14页●思考题1已知数列{an}，{bn}都是项数相同的等比数列，判断下列哪些数列是等比数列．①{an·bn}；②{an2}；③{an·an＋1}；④{k·an}；⑤{an＋bn}；⑥{an＋an＋1}；⑦{1an}；⑧{anbn}；⑨{an＋2}；⑩{an＋2}．第15页【答案】①②③⑦⑧⑩为等比数列第16页题型二通项公式例2在等比数列{an}中，(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.第17页【解析】(1)由等比数列的通项公式，得a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么a1q2＝20a1q5＝160，解得q＝2，a1＝5，所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.第18页●思考题2(1)等比数列{an}中，a1＝98，an＝13，公比q＝23，则n＝________．(2)数列{an}中，a1＝2，anan＋1＝12(n∈N*)，则a20＝________．(3)等比数列{an}中，a6＝6，a9＝9，则a3＝________．第19页【答案】(1)4(2)220(3)4第20页例3已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.第21页【解析】方法一：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a23＝8，∴a2＝2.从而a1＋a3＝5，a1a3＝4，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝12.故an＝2n－1或an＝23－n.第22页方法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知，得a1＋a1q＋a1q2＝7，a1·a1q·a1q2＝8，即a1（1＋q＋q2）＝7，a13q3＝8，即a1（1＋q＋q2）＝7，①，a1q＝2，②第23页将a1＝2q代入①得2q2－5q＋2＝0.∴q＝2或q＝12.由②得a1＝1，q＝2.或a1＝4，q＝12.故an＝2n－1或an＝23－n.第24页探究2a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，也是常见的方法．第25页●思考题3在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.第26页【解析】(1)方法一：因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，a1q6＝8.两式相除，得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.第27页方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.(2)方法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，所以两式相除得q＝12，从而a1＝32.又an＝1，所以32(12)n－1＝1.即26－n＝20，所以n＝6.第28页方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.第29页题型三等比中项例4(1)(2015·石家庄高二检测)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±14D.14第30页【解析】由an＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.【答案】A第31页(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．第32页【解析】b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．第33页探究3(1)在a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．第34页●思考题4(1)①3＋1和3－1的等比中项为________．②1＋3和1－3的等比中项为________．(2)已知{an}中an＝2n，则a2和a4的等比中项为________．(3)由x＝ab是否能得到a，x，b成等比数列？由a，x，b成等比数列能否得到x＝ab？第35页【答案】(1)①±2，②不存在(2)±8(3)不能，不能第36页课后巩固第37页1．下列说法：①公差为0的数列是等比数列；②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③若2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④若公比q1，则数列为递增数列．其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B第38页2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为()A．3·2nB.32·2n－2C．3·2n－2D．3·2n－1答案C第39页3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝22，则a3＝()A．±2B．2C．－2D．4答案B第40页4.2－1与2＋1的等比中项是________．答案±1第41页5．在等比数列{an}中，已知a1a3a11＝8，那么a2a8＝________．答案4第42页6．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．第43页解析设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，又因为2q＋2q＝203，解得q＝13或q＝3.当q＝13时，a1＝18，所以an＝18×(13)n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝29，所以an＝29×3n－1＝2×3n－3.第44页