2019-2020学年高中数学 第1章 数列 1.1 数列的概念课件 北师大版必修5

第一章数列§1数列1.1数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象的素养．2．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的数学素养．自主预习探新知1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题(1)数列的有关概念数列按__________排列的一列数叫作数列项数列中的__________叫作这个数列的项首项数列的________常称为首项通项数列中的__________叫数列的通项一定次序每一个数第1项第n项an(2)数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；②字母表示：上面数列也可记为_____．③数列的分类分类标准名称含义举例有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，…，n按项的个数无穷数列项数无限的数列1,4,9，…，n2，…{an}思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？[提示]数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成__________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集___________________的函数，当自变量__________依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．从小到大an＝f(n)N＋(或它的有限子集)思考：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？[提示]因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示]数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C.]2．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________.2[a2＝2×22－3×2＝2.]3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．an＝n(n∈N＋)[观察知数列的通项公式为an＝n(n∈N＋)．]4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1[当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]合作探究提素养数列的概念【例1】(1)下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B[根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．](2)[解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．1．下列说法正确的是()A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13D[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.]根据数列的前n项写出数列的通项公式【例2】根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2222，….[解](1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故an＝2n2n－12n＋1.(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n2.∴an＝n22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.(4)通过观察分析可知所求通项公式为an＝29(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an＝()A．n2n＋1B．n2n－1C．n2n－3D．n2n＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，….(1)B[由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n2n－1.](2)[解]①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以an＝1n＋1n＋3.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以an＝4＋(－1)n·2或an＝2，n是奇数，6，n是偶数.通项公式的应用[探究问题]1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？[提示]把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．2．已知数列{an}的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示]假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】数列{an}的通项公式是an＝n2－21n2(n∈N＋)．(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？思路探究：(1)令an＝0，an＝1⇒求n⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断[解](1)若0是{an}中的第n项，则n2－21n2＝0，因为n∈N＋，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项．若1是{an}中的第n项，则n2－21n2＝1，所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10.所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“an＝n2－21n2”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题．[解](1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3项．若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1.所以数列{an}中存在连续的两项，第1项与第2项相等．2．(变结论)例3的条件不变，求a3＋a4的值和a2n.[解]a3＋a4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a2n＝2n2－21×2n2＝2n2－21n.1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．3．通项公式的应用．当堂达标固双基1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列中的项不能相等．()(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项．()(3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列．()[答案](1)×(2)√(3)×[提示]数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项C[由题意知，an＝n－2n2.令an＝0.08，即n－2n2＝8100，所以n＝10，n＝52(舍去)，故选C.]3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，a2a3＝________.3－4n15[根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，a2a3＝3－223－23＝15.]4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n2＋3n.(1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？[解](1)数列的前三项：a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝410＝25，a3＝432＋3×3＝418＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．所以110是数列{an}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92，注意到n∈N＋，所以1627不是数列{an}中的项．