2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切

第一章三角函数§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用.1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值___，我们把它叫做角α的正切函数，记作y＝______，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.batanα(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝______α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为__________．sinαcosα三角函数(4)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第____和第____象限时，其正切函数值为正；当角在第____和第____象限时，其值为负．(5)正切线在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线交角α的终边或终边的反向延长线于T，称线段___为角α的正切线．AT一三二四练一练(1)已知P(1，y)为角α终边上的一点，且cosα＝13，则tanα＝________.解析：cosα＝11＋y2＝13，∴1＋y2＝3，∴y2＝8，∴y＝±22，∴tanα＝±22.答案：±222．正切函数的图像和性质(1)正切函数的图像利用正切线作出y＝tanx的图像如图：(2)正切函数的性质函数y＝tanx定义域______________________________值域___周期性周期为_________________最小正周期为___xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈ZRkπ(k∈Z，k≠0)π函数y＝tanx奇偶性________单调性在每一个开区间__________________________上是增加的－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)奇函数练一练(2)若tanx≥0，则()A．2kπ－π2＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－π2＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ≤x＜kπ＋π2(k∈Z)答案：D1．研究正切函数的性质应注意什么？答：正切函数的性质与正、余弦函数有较大的区别，尤其是定义域、值域、单调性等，不能再类比正、余弦函数进行研究．2．正切函数的图像有什么特点？答：正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正、余弦函数的有界性，它不存在有界性．正切函数只存在单调递增区间，无递减区间．典例精析规律总结课堂互动探究1正切函数的定义类型已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．【解】r＝－4a2＋3a2＝5|a|，若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝yr＝3a5a＝35，cosα＝xr＝－4a5a＝－45.tanα＝yx＝3a－4a＝－34；若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.【方法总结】已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝nm.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：α0π6π4π32π33π45π6tanα03313－3－1－33已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A．2π3B．11π6C．5π6D．3π4解析：点(3，－1)在第四象限，tanα＝－33，∴α的最小正值为11π6.答案：B2正切函数的图像类型作出函数y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性．【解】∵y＝tan|x|＝tanx，x≠kπ＋π2，x≥0，k∈Z，－tanx，x≠kπ＋π2，x＜0，k∈Z.∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tanx在y轴右侧的图像．当x＜0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．【方法总结】1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是－π4，－1，(0,0)，π4，1，两线是直线x＝±π2为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．解：由y＝|tanx|得，y＝tanx，kπ≤x＜kπ＋π2，k∈Z，－tanx，－π2＋kπ＜x＜kπ，k∈Z.其图像如图．由图像可知，函数y＝|tanx|是偶函数，单调递增区间为kπ，π2＋kπ(k∈Z)，单调递减区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z).3正切函数的性质类型(1)求函数y＝lg(tanx－1)＋cosx的定义域；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．【分析】(1)保证解析式有意义，一定要注意正切函数本身定义域．(2)转化到同一单调区间比较．【解】(1)由题意，得tanx－1＞0，cosx≥0，解得kπ＋π4＜x＜kπ＋π2，k∈Z，2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，∴所求函数的定义域是2kπ＋π4，2kπ＋π2(k∈Z)．(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0，显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y＝tanx在－π2，π2内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.【方法总结】1.求正切函数定义域时，一定要注意正切函数自身的定义域．另外，这类问题都是由构造三角不等式来确定自变量的范围．解三角不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．2．比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．求函数y＝tan3x－π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．解：由3x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ3＋5π18(k∈Z)，∴函数的定义域为x|x≠kπ3＋5π18，k∈Z.值域为R，周期T＝π3，是非奇非偶函数．在区间kπ3－π18，kπ3＋5π18(k∈Z)上是增加的．求函数y＝11＋tanx的定义域．【错解】∵1＋tanx≠0，即tanx≠－1.∴x≠kπ－π4，k∈Z.即y＝11＋tanx的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z.【错因分析】错解忽略了y＝tanx本身的定义域．【正解】由题意得1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2，k∈Z，故函数的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一正切函数的定义1．(2018·北京卷)在平面坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanαcosαsinα，则P所在的圆弧是()A．AB︵B．CD︵C．EF︵D．GH︵解析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的定义可得正确结论．当点P在AB︵上时，cosα＝x，sinα＝y，∴cosαsinα，故A选项错误；当点P在CD︵上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴tanαsinαcosα，故B选项错误；当点P在EF︵上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinαcosαtanα，故C选项正确；当点P在GH︵上且GH︵在第三象限时，tanα0，sinα0，cosα0，故D选项错误．综上，故选C．答案：C知识点二正切函数的图像2．函数y＝tanx2－π3在一个周期内的图像是()解析：由y＝tanx2－π3知周期T＝2π，可排除B、D．又函数的零点为x＝2π3，可排除C，故选A．答案：A知识点三正切函数的性质3．sin1，cos1，tan1的大小关系是()A．sin1＜cos1＜tan1B．tan1＜sin1＜cos1C．sin1＜tan1＜cos1D．cos1＜sin1＜tan1解析：∵π4＜1＜π2，∴tan1＞1,1sin1cosπ4cos1，∴cos1＜sin1＜tan1.答案：D4．函数y＝sinx，y＝cosx和y＝tanx具有相同单调性的一个区间是()A．0，π2B．π2，πC．π，3π2D．－π2，0解析：y＝tanx在kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z内单调递增，只需确定y＝sinx，y＝cosx的递增区间．答案：D5．已知函数y＝tanx在区间－aπ3，aπ2(a＞0)上是增加的，求a的取值范围．解：∵y＝tanx在－π2，π2上递增，又∵y＝tanx在－aπ3，aπ2上递增，∴－aπ3，aπ2⊆－π2，π2，即－π2≤－aπ3，aπ2≤π2，a＞0，解得0＜a≤1.∴a的取值范围为(0,1].