2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4.1 单

第一章三角函数§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦的定义．3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．4．了解周期函数的概念及正余弦函数的最小正周期．掌握终边相同角的三角函数值相同.1．任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆在直角坐标系中，以______为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆．原点单位长(2)正弦、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点Pu，v，那么点P的____________叫作角α的正弦函数，记作v＝sinα；点P的____________叫作角α的余弦函数，记作________.(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的定义域为__________，值域为______________．纵坐标v横坐标uu＝cosα全体实数[－1,1](4)正弦函数值、余弦函数值的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋练一练(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由点P(sinθcosθ，2cosθ)在第三象限，可得sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即得sinθ＞0，cosθ＜0，由sinθ＞0可得θ为第一或第二象限角，或终边在y轴非负半轴上．由cosθ＜0可得θ为第二或第三象限角，或终边在x轴非正半轴上．因此θ为第二象限角，故选择B．答案：B2．周期性(1)周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的任意一个x值，都有_______________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．非零实数Tf(x＋T)＝f(x)T练一练(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：∵f(x－8)＝f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝8，∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，由已知得f(x)在[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴选D．答案：D(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，其周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.(3)终边相同角的正弦、余弦函数终边相同的角的正弦函数值______，即sin(x＋k·2π)＝sinx，k∈Z.终边相同的角的余弦函数值______，即cos(x＋k·2π)＝cosx，k∈Z.相等相等1．怎样理解sinα？答：sinα不是sin与α的积，而是一个三角函数的记号，是一个整体．一个任意角α的正弦、余弦只与角α的终边和单位圆交点P的坐标(u，v)有关．2．三角函数值在各象限的符号取哪些值？答：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的．根据单位圆中三角函数的定义(即sinα＝v，cosα＝u)得知：正弦的符号决定于纵坐标v的符号；余弦的符号决定于横坐标u的符号；为了便于记忆，我们把它概括为如下口诀：一全正，二正弦正，三全负，四余弦正．3．由三角函数的定义怎样求sinα、cosα？答：若已知角α终边上除顶点外的任意一点P(x，y)，则sinα＝yx2＋y2，cosα＝xx2＋y2.典例精析规律总结课堂互动探究已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．1正、余弦函数的定义类型【解】解法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝2x(x＞0)．又因为x2＋y2＝1，所以x＝55，y＝255，于是sinα＝y＝255，cosα＝x＝55.解法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x＞0)，则OP＝x2＋y2＝x2＋4x2＝5|x|，又因为x＞0，所以OP＝5x.所以sinα＝y5x＝2x5x＝255，cosα＝x5x＝55.【方法总结】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1．利用单位圆中的正、余弦函数的定义．即若角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，则v＝sinα，u＝cosα.2．利用正弦、余弦函数定义的推广．根据初中锐角三角函数的定义，设P(x，y)是角α的终边上任意一点，P到原点的距离r＝|OP|＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr.已知角α的终边经过点P(8，－6)，则2sinα＋cosα的值为()A．45B．25C．－25D．－35解析：r＝82＋－62＝10，∴sinα＝yr＝－610＝－35，cosα＝xr＝810＝45，∴2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.答案：C2判断三角函数值的符号类型确定下列三角函数值的符号：(1)sin39π12；(2)cos(－925°)．【解】(1)∵39π12＝2π＋15π12，且15π12是第三象限角，∴39π12是第三象限角，∴sin39π12＜0.(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，∴－925°是第二象限角．∴cos(－925°)＜0.【方法总结】对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要．判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sinα·cosα；(2)sin3·cos4·cos－23π4.解：(1)∵α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα0，∴sinα·cosα＜0.(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin3＞0，cos4＜0，∵－23π4＝－6π＋π4，∴cos－23π4＞0.∴sin3·cos4·cos－23π4＜0.3函数的周期性类型已知f(x＋1)＝－f(x)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．【证明】∵f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．【方法总结】由周期函数的定义可知，f(x＋T)＝f(x)(T≠0)中强调的变量x具有任意性，只要属于定义域中的变量均可，因此在学习该定义时，不能只验证某些或某个变量满足f(x＋T)＝f(x)，说明T是其周期．求下列三角函数值．(1)sin(－1050°)；(2)cos－35π6.解：(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角的终边相同．∴sin(－1050°)＝sin30°＝12.(2)∵－35π6＝－36π6＋π6＝－3×2π＋π6，∴－35π6的角的终边和π6的角的终边相同．∴cos－35π6＝cosπ6＝32.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα＋cosα的值．【错解】在直线y＝－3x上任取一点P(1，－3)．则r＝1＋3＝2，由三角函数的定义得sinα＝yr＝－32，cosα＝xr＝12.∴sinα＋cosα＝－32＋12＝1－32.【错因分析】角α的终边在直线上，而直线相当于从原点出发的两条射线，所以角α的终边有两个位置，应分开处理．【正解】在直线y＝－3x上任取一点P(m，－3m)，m≠0.则r＝m2＋－3m2＝2|m|.当m0时，r＝2m，sinα＝yr＝－32，cosα＝xr＝12.∴sinα＋cosα＝1－32；当m0时，r＝－2m，sinα＝－3m－2m＝32，cosα＝m－2m＝－12.∴sinα＋cosα＝3－12.综上，sinα＋cosα＝±3－12.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一用定义求三角函数值1．若角α的终边过点12，32，则cosα的值为()A．12B．32C．3D．33答案：A2．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为()A．±15B．±55C．±255D．±12解析：当角α的终边在第一象限时，取点(1,2)，则r＝x2＋y2＝5，∴sinα＝yr＝25＝255；当角α的终边在第三象限时，同理可得sinα＝－255.答案：C知识点二三角函数值的符号3．给出下列三角函数值：①sin1125°；②cos37π12；③sin37π12；④sin4·cos4.其中为正值的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：∵1125°＝3×360°＋45°，∴1125°是第一象限角，∴sin1125°0；∵37π12＝2π＋13π12，∴37π12是第三象限角，∴cos37π120，sin37π120；∵π43π2，∴4是第三象限角，∴sin40，cos40，∴sin4·cos40.由以上分析知，①④为正值．答案：C知识点三利用周期求值4．若函数f(x)是以π2为周期的周期函数，且fπ3＝1，则f17π6的值是()A．1B．－1C．±1D．无法确定解析：f17π6＝f2π＋π2＋π3＝fπ3＝1.答案：A5．求下列各式的值：(1)cos25π3＋sin－15π4；(2)sin810°＋cos765°＋sin1125°＋cos360°.解：(1)原式＝cosπ3＋sinπ4＝12＋22.(2)原式＝sin90°＋cos45°＋sin45°＋cos0°＝1＋22＋22＋1＝2＋2.