2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2.1 正、余弦函数的周期性与奇偶性课件

1．4三角函数的图象与性质1．4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第一章三角函数课前自主预习1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个_______________，使得当x取定义域内的__________值时，都有_____________，那么函数f(x)就叫做__________函数，______________叫做这个函数的周期．(2)__________________________________________________________________________就叫做f(x)的最小正周期．□1非零常数T□2每一个□3f(x＋T)＝f(x)□4周期□5非零常数T□6如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是__________函数，______________________都是它们的周期，最小正周期为__________.2．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sinx(x∈R)是__________函数，图象关于__________对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是__________函数，图象关于__________对称．□7周期□82kπ(k∈Z且k≠0)□92π□10奇□11原点□12偶□13y轴1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因sinπ3＋π3＝sinπ3，则π3是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝3sin2x是奇函数．()(4)函数y＝－cosπ3x是偶函数．()√×√√2．做一做(1)函数f(x)＝2sinπ2－x是()A．T＝2π的奇函数B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数D．T＝π的偶函数解析∵f(x)＝2sinπ2－x＝2cosx，∴f(x＋2π)＝2cos(x＋2π)＝2cosx＝f(x)，又f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，故B正确．选B．(2)(教材改编P36T2(4))函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________．π解析T＝2π2＝π.(3)y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.0解析y＝sinx在[a，b]上是奇函数，故函数的定义域[a，b]关于原点对称，故a＋b＝0.课堂互动探究探究1正、余弦函数的周期性例1求下列函数的周期．(1)y＝3sinπ2x＋3；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3cosπ6－3x；(4)y＝sin2x－π4.解(1)解法一：y＝3sinπ2x＋3＋2π＝3sinπ2x＋4＋3＝3sinπ2x＋3，∴f(x＋4)＝f(x)，∴y＝3sinπ2x＋3的周期为4.解法二：∵ω＝π2，∴T＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y＝|cosx|的图象如图所示．∴周期T＝π.(3)解法一：y＝3cosπ6－3x＝3cos3x－π6.∵3cos3x－π6＋2π＝3cos3x＋2π3－π6＝3cos3x－π6，∴fx＋2π3＝f(x)，∴y＝3cosπ6－3x的周期为2π3.解法二：∵|ω|＝3，∴T＝2π|ω|＝2π3.(4)解法一：y＝sin2x－π4＝sin2x－π4＋2π＝sin2x＋π－π4，∴f(x＋π)＝f(x)，∴y＝sin2x－π4的周期为π.解法二：ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.拓展提升求三角函数周期的方法求三角函数的周期，通常有三种方法．方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|；方法三：观察法(图象法)．注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.【跟踪训练1】求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin2x＋π3；(2)f(x)＝2sinx2－π6；(3)f(x)＝cos－2x＋π3；(4)f(x)＝|sinx|.解(1)∵sin2x＋π3＋2π＝sin2x＋π3，∴sin2x＋π＋π3＝sin2x＋π3，∴y＝sin2x＋π3的周期是π.(2)解法一：∵2sinx2－π6＋2π＝2sin12x＋4π－π6＝2sinx2－π6，∴f(x＋4π)＝f(x)，∴y＝2sinx2－π6的周期是4π.解法二：∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.(3)f(x)＝cos－2x＋π3＝cos2x－π3.∵cos2x－π3＋2π＝cos2x＋π－π3＝cos2x－π3，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.(4)y＝|sinx|的图象如图所示．∴周期T＝π.探究2正、余弦函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2sin2x；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.解(1)显然x∈R，f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2sin2x是奇函数．(2)显然x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．[条件探究]将例2(1)改为f(x)＝2cos2x，(2)改为f(x)＝cos3x4＋3π2，再判断函数的奇偶性．解(1)∵x∈R，且f(－x)＝2cos(－2x)＝2cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)∵x∈R，f(x)＝cos3x4＋3π2＝sin3x4，∴f(－x)＝sin－3x4＝－sin3x4＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．拓展提升判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．【跟踪训练2】(1)判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝cosx－x3sinx，∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)解法一：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，∴该函数图象关于直线x＝0对称．又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，∴当x＝0时满足2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－π2.解法二：根据y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数，∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cos2x或f(x)＝－cos2x，可取φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－π2.探究3函数周期性与奇偶性的应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．解∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)是R上的偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.[条件探究]若本例条件改为：函数f(x)为定义在R上的偶函数且fx＋π2＝－f(x)，fπ3＝1，求f5π3的值．解因为f(x)满足fx＋π2＝－f(x)，所以f(x＋π)＝－fx＋π2＝f(x)．故函数f(x)的周期为π.由f(x)是偶函数以及fπ3＝1，可得f5π3＝f－π3＝fπ3＝1.拓展提升化归思想在周期函数中的应用(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．(3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质上是由终边相同的角所具有的周期性决定的．【跟踪训练3】若函数f(x)是以π2为周期的偶函数，且fπ3＝1，求f－17π6的值．解∵f(x)是偶函数，∴f－17π6＝f17π6.又f(x)的周期是π2，∴f17π6＝fπ2×5＋π3＝fπ3＝1，即f－17π6＝1.1.对函数周期的几点理解说明(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)(T≠0)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数，自然也就没有周期T.(2)关于周期T，由定义可知并不唯一，即若T为函数y＝f(x)的周期，则2T,3T，…，都为其周期．(3)若f(x)为周期函数，T为周期，则x＋kT(k∈Z)也属于其定义域，也就是说，周期函数的定义域是一个无限集．2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．3.三角函数奇偶性与周期性的综合应用关键是利用化归思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上.课堂达标自测1．函数y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0B．π4C．π2D．π解析由题意得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2.故选C．2．函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数解析显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝2π2＝π，故选A．3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()解析∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C．又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B．4．函数y＝sinωx＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝________.解析∵2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.±35．函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的奇偶性为_______________．非奇非偶函数解析由题意知，f(x)的定义域为