2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质（第3课时）正切函

第1章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.2三角函数的图象与性质第3课时正切函数的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．(重点)2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.自主预习探新知正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域xx≠kπ＋π2，k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间_________上都是增函数对称性无对称轴，对称中心为kπ2，0(k∈Z)kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？[提示]不是．1．思考辨析(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．()(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋π2，k∈Z.()(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.()[解析](1)×.正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z上是单调递增函数．(2)×.正切函数不是轴对称图形．(3)×.正切函数的对称中心为kπ2，0，k∈Z.[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝tanx＋π6的定义域是________，fπ6＝________.xx≠kπ＋π3，k∈Z3[由题意知x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，即x≠π3＋kπ(k∈Z)．故定义域为xx≠kπ＋π3，k∈Z，且fπ6＝tanπ6＋π6＝3.]3．函数y＝－tanx的单调递减区间是________．－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)[因为y＝tanx与y＝－tanx的单调性相反，所以y＝－tanx的单调递减区间为－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．]合作探究提素养【例1】求下列函数的定义域．(1)y＝11＋tan2x－π4；(2)y＝3tanx－3.思路点拨：(1)分母不为0，且tan2x－π4有意义；(2)被开方数非负，且tanx有意义．正切函数的定义域[解](1)若使得y＝11＋tan2x－π4有意义，则2x－π4≠kπ＋π2k∈Z，2x－π4≠kπ－π4k∈Z，∴x≠kπ2＋3π8k∈Z，x≠kπ2k∈Z，∴函数y＝11＋tan2x－π4的定义域为xx≠kπ2且x≠kπ2＋3π8，k∈Z.(2)由题意得3tanx－3≥0，∴tanx≥3，∴kπ＋π3≤x＜kπ＋π2(k∈Z)，∴y＝3tanx－3的定义域为xkπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠kπ＋π2k∈Z，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.1．求函数y＝11＋tanx的定义域．[解]要使函数y＝11＋tanx有意义，则有1＋tanx≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，∴tanx≠－1，x≠π2＋kπ，k∈Z，∴x≠－π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.∴函数y＝11＋tanx的定义域为xx≠－π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.【例2】(1)比较下列两个数的大小(用“”或“”填空)．①tan2π7________tan10π7；②tan6π5________tan－13π5.(2)求函数y＝tan－12x＋π4的单调区间及最小正周期．正切函数的单调性及应用思路点拨：(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把12x－π4看作一个整体，利用y＝tanx的单调区间求解．利用T＝πω求周期．①＜②＜[(1)①tan10π7＝tanπ＋3π7＝tan3π7，∵0＜2π73π7＜π2，且y＝tanx在0，π2上是增函数，∴tan2π7tan10π7.②tan6π5＝tanπ＋π5＝tanπ5，tan－13π5＝tan2π5，∵0＜π52π5＜π2，且y＝tanx在0，π2上是增函数，∴tan6π5tan－13π5.](2)[解]y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2x2kπ＋32π(k∈Z)，所以函数y＝tan－12x＋π4的单调减区间是2kπ－π2，2kπ＋32π，k∈Z，无增区间．最小正周期T＝π－12＝2π.1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．2．(1)求函数y＝3tanπ4－2x的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－16π5的大小．[解](1)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4，令－π2＋kπ2x－π4π2＋kπ，则－π8＋kπ2x3π8＋kπ2，k∈Z，从而函数y＝3tan2x－π4的单调递增区间为－π8＋kπ2，3π8＋kπ2，k∈Z，故函数y＝3tanπ4－2x的单调递减区间为－π8＋kπ2，3π8＋kπ2，k∈Z.(2)因为tan－13π4＝－tanπ4，tan－16π5＝－tanπ5，又0＜π5＜π4＜π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，所以tanπ4＞tanπ5，所以－tanπ4＜－tanπ5，即tan－13π4＜tan－16π5.[探究问题]1．如何由y＝tanx的图象画出y＝|tanx|的图象．提示：只需保持y＝tanx的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tanx|的图象．2．如何由y＝tanx的图象画出y＝tan|x|的图象．提示：把y＝tanx(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．正切函数的图象及应用【例3】根据函数y＝|tanx|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．思路点拨：画y＝tanx图象→y＝|tanx|图象→研究性质[解]由y＝|tanx|得，y＝tanx，kπ≤xkπ＋π2k∈Z，－tanx，－π2＋kπxkπk∈Z，其图象如图．由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数，单调递增区间为kπ，π2＋kπ(k∈Z)，单调递减区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)，周期为π.将本例中的函数y＝|tanx|改为y＝tan|x|，解答同样的问题．[解]由y＝tan|x|得y＝tanx，x≥0且x≠kπ＋π2，k∈Z，－tanx，x0且x≠kπ＋π2，k∈Z，根据y＝tanx的图象，作出y＝tan|x|的图象如图：由图象可知，函数y＝tan|x|是偶函数，单调增区间为0，π2，kπ＋π2，kπ＋32π(k＝0,1,2，…)；单调减区间为－π2，0，kπ－32π，kπ－π2(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法：1直接描点法，要注意定义域；2图象变换法，即以y＝tanx的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.教师独具1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋π2(k∈Z)，直线x＝kπ－π2(k∈Z)．3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．(2)正切函数的单调性及应用．(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．4．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z.(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴.当堂达标固双基1．函数y＝4tan－x2的最小正周期为()A.π2B．πC.3π2D．2πD[T＝π－12＝2π.]2．函数y＝tanx－π4的定义域是________．xx≠kπ＋3π4，k∈Z[解x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)得x≠kπ＋34π(k∈Z)．]3．函数y＝tanx在－π4，π3上的值域为________．[－1，3][∵－π4≤x≤π3，∴－1≤tanx≤3.]4．求函数y＝tan2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．[解]定义域为xx≠π4＋kπ2，k∈Z；值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为π2；对应图象如图所示：