2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 苏教版必修4

第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.2弧度制学习目标核心素养(教师独具)1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.自主预习探新知一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的_____为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．1360半径1rad思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．二、角度制与弧度制的换算1．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝_____rad≈0.01745rad1rad＝_____度≈57.30°2π360°π180°π180180π2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2角度120°135°150°180°270°360°弧度2π33π45π6π3π22π3.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是.正数负数0思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示]利用1°＝π180弧度和1弧度＝180π°进行弧度与角度的换算．三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝___，弧长l＝.特别地，当r＝1时，弧长l＝.2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝|α|2π·πr2＝_______.lr|α|r|α|12lr1．思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．()[答案](1)×(2)×(3)×2．将下列弧度与角度互换(1)－2π9＝________；(2)2＝________；(3)72°＝________；(4)－300°＝________.(1)－40°(2)360π°(3)2π5rad(4)－5π3rad[(1)－2π9rad＝－29×180°＝－40°.(2)2rad＝2×180π°＝360π°.(3)72°＝72×π180rad＝2π5rad.(4)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad.]3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为_______，面积为________．2π3π3[∵α＝2π3，r＝1，∴弧长l＝α·r＝2π3，面积＝12lr＝12×2π3×1＝π3.]合作探究提素养【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．角度制与弧度制的互化[解](1)－450°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×180π°＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解](1)20°＝20π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15π180rad＝－π12rad.(3)7π12rad＝712×180°＝105°.(4)－11π5rad＝－115×180°＝－396°.【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．用弧度制表示角的集合[解]用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)θ－π6＋2kπθ512π＋2kπ，k∈Z.(2)θ－3π4＋2kπθ3π4＋2kπ，k∈Z.(3)θπ6＋kπθπ2＋kπ，k∈Z.表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②[解](1)如题图①，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.[探究问题]1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？提示：公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．扇形的弧长及面积问题2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.【例3】一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值[解]设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r0及r0得0r10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0r10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20cm”，求扇形的面积．[解]设扇形弧长为l，因为72°＝72×π180＝2π5(rad)，所以l＝αr＝2π5×20＝8π(cm)，所以S＝12lr＝12×8π×20＝80π(cm2)．2．(变结论)本例变为“扇形周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．[解]设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为r，依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4.②①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad2πrad(舍去)．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.2看清角的度量制，选用相应的公式.3扇形的周长等于弧长加两个半径长.教师独具1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180rad(3)1rad＝180π°.3．本节课要重点掌握以下规律方法(1)弧度制的概念辨析；(2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．当堂达标固双基1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.(1)24°(2)－216°(3)469πrad(4)－2π5rad[(1)2π15rad＝215×180°＝24°.(2)－6π5rad＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180rad＝469πrad.(4)－72°＝－72×π180rad＝－2π5rad.]2．若扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．2[设扇形所在圆的半径为rcm，扇形弧长为lcm.由题意得l＋2r＝4，12lr＝1，解得l＝2，r＝1.所以α＝lr＝2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.]3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______．α2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z[若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z.]4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．[解](1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝3π5＝3π5×180π°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得k＝－2，或k＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.