2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.1 排列(二)课件 新人教A版选修2-3

返回目录第一章计数原理返回目录1.2排列与组合1.2.1排列(二)返回目录课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业返回目录常见的排列问题分为______________和______________两大类，求解无限制条件的排列问题，一般______________________.课前教材预案要点一排列问题的常见类型有限制条件无限制条件直接利用排列数公式返回目录1．特殊元素(位置)优先法：先排______________________，然后再排其他元素(位置)．2．间接法(逆向思维法)：先不考虑限制条件，求出所有的排列数，然后__________________________.3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．要点二有限制条件的排列问题的常用解法与技巧特殊元素或特殊位置减去不符合条件的排列数返回目录4．相邻问题________法：要求某些元素____________时，常用“捆绑”的办法，先将它们看成____________，再参与后续的排列．5．不相邻问题________法：要求某些元素__________时，常用“插空”的办法，先排好__________________，再插入受限制的元素．6．定序问题倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法．捆绑必须相邻一个元素插空不相邻不受限制的元素返回目录课堂深度拓展考点一数字问题数字问题的解答策略数字的排列是一类典型的排列问题，往往涉及排列特殊数，如奇数、被5整除的数等．需要注意以下几个问题：返回目录(1)首位数字不为0.(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”．(3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”．(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素、特殊位置分类．返回目录【例题1】用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24B．48C．60D．72思维导引：本题考查排列的概念，排列数的计算及分步乘法计数原理，个位是特殊位置优先安排．返回目录答案D解析分两步完成：第一步先从1,3,5中选1个排在个位有A13种方法；第二步把剩余的4个数字排在另外4个位置有A44种方法．由分步乘法计数原理得奇数的个数为A13·A44＝3×4×3×2×1＝72.返回目录【变式1】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的数？(1)个位上的数字不是5的六位数；(2)不大于4310的四位数且是偶数．解析(1)方法一(间接法)0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504个．返回目录方法二(直接法)十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类．第一类：当个位上排0时，有A55种排法；第二类：当个位上不排0时，有A14A14A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504个．返回目录(2)当千位上排1,3时，有A12A13A24种排法；当千位上排2时，有A12A24种排法；当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个，形如41××的偶数有A12A13个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意．故不大于4310的四位数且是偶数的共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110个．返回目录考点二排队问题排队问题的解答策略(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法．(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏．返回目录(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．返回目录【例题2】7位同学按照不同的要求站成一排，求不同排队方案的种数．(1)甲必须站中间；(2)甲、乙只能站两端；(3)甲不站左端，乙不站右端；(4)甲、乙两人必须相邻；(5)甲、乙两人不能相邻．返回目录思维导引：采用特殊元素或特殊位置优先安排，注意“捆绑法”在解题中的应用．解析(1)问题可以看作余下的6个元素的全排列，共有A66＝720种．(2)根据分步乘法计数原理，第一步，甲、乙站在两端有A22种；第二步，余下的5名同学进行全排列有A55种．所以共有A55·A22＝240种排列方法．返回目录(3)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置．方法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种．甲不在最右边时，可从余下5个位置中任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个，有A15种，其余人全排列，共有A15A15A55种．由分类加法计数原理得，共有A66＋A15A15A55＝3720种．返回目录方法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A16种，余下6个位置全排，有A66种，但应剔除乙在最右边时的排法A15A55种．所以共有A16A66－A15A55＝3720种．方法三(间接法)7个人全排，共A77种，其中不合条件的有甲在最左边时A66种，乙在最右边时A66种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A55种．所以共有A77－2A66＋A55＝3720种．返回目录(4)(捆绑法)把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于6个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共有A66·A22＝1440种站法．(5)(插空法)先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列．所以共有A55A26＝3600种不同站法．返回目录【变式2】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，男、女各站一起；(2)全体站成一排，男生必须排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人．返回目录解析(1)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排法．(2)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故共有A33·A55＝720种排法．(3)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3人全排列，故共有A25·A22·A44＝960种排法．返回目录考点三定序排列问题定序排列问题的解答策略在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这一类问题的基本方法有两个：(1)倍缩法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这m＋n个元素排成一列，有Am＋nm＋n种不同的排法；返回目录然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Amm种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有Am＋nm＋nAmm种满足条件的不同排法．(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空档中．返回目录【例题3】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有______种不同排法．(2)甲在乙的左边，有______种不同的排法．思维导引：(1)中三人位置确定时，“顺序一定”有一种排法，“顺序任意”有A33种不同排法．(2)中甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等．返回目录解析(1)方法一(倍缩法)7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840种．返回目录方法二(插空法)7人站定7个位置，先把其余4人排好，余下的3个空位，甲、乙、丙按照预先规定的顺序排列，只有一种排法，故共有A47＝7×6×5×4＝840种排法．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A77＝2520种．答案(1)840(2)2520返回目录【变式3】在某次召开的国际性会议中，出席会议的有21位国家和地区的领导人或代表，其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，如果德澳两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，对其他领导人或代表所站的位置不作要求，那么不同的排法种数共有()A．A1818B．A22A1818C．A23A818A1010D．A2020返回目录答案B解析中国领导人固定，德澳两国领导人在两侧有A22种方法，其余18人可全排列，共有A1818种，故所有的排法种数有A22A1818.返回目录课末随堂演练1．(排队问题)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24返回目录答案D解析先把不坐人的三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个空隙，再把3个人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24种放法．返回目录2．(排队问题)有七名学生站成一排，甲不排在首位也不排在末位的排法有________种．解析方法一在中间5个位置中先排甲，再排其余6人，共有方法A15A66＝3600种．方法二先从其余6人中选出2人排在首位和末位，再排其余5人，共有方法A26A55＝3600种．答案3600返回目录3．(数字问题)在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)，…，(9,7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制，所以共有8A28＝448个．答案448返回目录4．(定序排列问题)5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法？(1)男女相间；(2)女生相互之间按指定顺序排列．解析(1)先将男生排好，有A55种排法；再将5名女生安排在男生之间的4个“空位”和两端的一个空位中，有2A55种排法，故共有排法2A55·A55＝28800种．返回目录(2)方法一男、女生的所有排法有A1010种，女生的所有排法有A55种，又女生的位置已经指定，所有只有一种排法，所以共有排法A1010A55＝A510＝30240种．方法二设有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A510种排法，余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法，故共有排法A510×1＝30240种．返回目录