2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标核心素养1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养．2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.自主预习探新知1．分类加法计数原理思考1：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？[提示]共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法．2．分步乘法计数原理思考2：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？[提示]共有m1×m2×…×mn种不同的方法．C[由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的方法．]1．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的方法共有()A．3种B．4种C．7种D．12种2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为()A．10个B．6个C．8个D．9个D[因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．]16[不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．]3．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________．合作探究提素养利用分类加法计数原理解题【例1】在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？[思路点拨]根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．[解]法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19，23,24,25,26,27,28,29，34,35,36,37,38,39，45,46,47,48,49，56,57,58,59，67,68,69，78,79，89.共有36个符合题意的两位数．1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．[解]当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个．当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？[解]分三类：①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个；②第二类为二位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；③第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个．∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数．利用分类加法计数原理计数时的解题流程提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事．利用分步乘法计数原理解题【例2】已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？[思路点拨]确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．[解]完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．1．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？[解](1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b0，所以有2种不同的结果．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.两个计数原理的简单综合应用[探究问题]如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？[提示]如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．【例3】一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？[思路点拨][解](1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．2．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每一类办法都能独立地完成这件事只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏”各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．12C．64D．81B[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24D．以上都不对B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]4．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解](1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．