2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.2.3 同角三角函数的基本关系式课件

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.2任意角的三角函数1.2.3同角三角函数的基本关系式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx；知道这两个基本关系的推导；2．会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.1．同角三角函数的基本关系式平方关系.商数关系tanα＝.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα2．同角三角函数的变形公式sin2α＝；cos2α＝；sinα＝；cosα＝.1－cos2α1－sin2αcosα·tanαsinαtanα1．已知cosα＝45，且α是第四象限的角，则tanα的值为()A．－43B.－34C.34D.43解析：cosα＝45，α是第四象限的角．∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴tanα＝－34，故选B.答案：B2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－sinαcosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinα解析：∵α是第二象限角，∴cosα0，∴cosα＝－1－sin2α，故选B.答案：B3．已知tanα＝12，α是第三象限角，则cosα＝________.解析：tanα＝sinαcosα＝12，∴sinα＝12cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴54cos2α＝1.∴cos2α＝45.∵α是第三象限角，∴cosα＝－255.答案：－255典例精析规律总结课堂互动探究利用同角三角函数关系求值类型1(1)已知sinα＝13，求tanα；(2)已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．【分析】本例属同角三角关系式的基本题，(1)题关键是掌握住“先平方，后做商”的原则，先求与sinα的平方关系相联系的cosα，再由公式求tanα.(2)由tanα得出sinα与cosα的关系，结合sin2α＋cos2α＝1，即可得出答案．在没有给出角的范围的情况下，要注意对象限进行讨论．【解】(1)∵sinα＝130，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝223，∴tanα＝24；当α为第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－223.∴tanα＝－24.(2)∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2，得sinα＝－2cosα.sinα＝－2cosα，sin2α＋cos2α＝1，⇒5cos2α＝1，①当α为第二象限角时，cosα＜0，∴cosα＝－55，sinα＝－2×－55＝255.②当α为第四象限角时，∵cosα＞0，∴cosα＝55，sinα＝－2×55＝－255.综合①②知：当α为第二象限角时，cosα＝－55，sinα＝255，当α为第四象限角时，cosα＝55，sinα＝－255.【知识点拨】利用同角三角函数关系式，可以解决已知某角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若已知sinα，利用cos2α＝1－sin2α，求cosα；若已知cosα，利用sin2α＝1－cos2α，求sinα；若已知tanα，利用sinαcosα＝tanα与sin2α＋cos2α＝1解方程组．求sinα与cosα，要注意角所在象限，必要时要进行讨论．若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B.－125C.512D.－512解析：∵α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512，故选D.答案：D三角函数式的化简与证明类型2化简：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)1＋sinθ1＋tan2θ·1－sinθ.【分析】利用平方关系进行正弦、余弦间的互化，遇到正切，常将正切利用商数关系进行变形．【解】(1)原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.(2)解法一：原式＝1＋sinθ1＋sin2θcos2θ·1－sinθ＝1－sin2θ1cos2θ·1－sinθ2＝cos2θ1|cosθ|·|1－sinθ|＝|cosθ|21－sinθ＝cos2θ1－sinθ＝1－sin2θ1－sinθ＝1＋sinθ.解法二：原式＝1＋sinθ1＋sin2θcos2θ·1－sinθ＝1＋sinθ21cos2θ·1－sin2θ＝1＋sinθ1|cosθ|·|cosθ|＝1＋sinθ.证明下列三角恒等式：(1)tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα；(2)2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.【分析】(1)切化弦；(2)左边入手，利用平方差公式．【证明】(1)左边＝sin2αcosαsinαcosα－sinα＝sin2αsinα－sinαcosα＝1－cos2αsinα1－cosα＝1＋cosαsinα＝1sinα＋cosαsinα＝1sinα＋1tanα＝tanα＋sinαtanαsinα＝右边，所以原命题成立．(2)左边＝2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]＝2sinxcosxsin2x－cosx－12＝sinx1－cosx＝sinx1＋cosx1－cos2x＝1＋cosxsinx＝右边，所以原命题成立．【知识点拨】三角函数式化简技巧(1)“化弦法”，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α，1＝1cos2α－tan2α；(3)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．简单三角恒等式的证明方法：(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)证明左－右＝0或左右＝1的等价形式．若sinα·tanα＜0，化简1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα.解：由于sinα·tanα＜0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、三象限角，∴cosα＜0，∴1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα＝1－sinα21－sin2α＋1＋sinα21－sin2α＝|1－sinα||cosα|＋|1＋sinα||cosα|＝1－sinα＋1＋sinα－cosα＝－2cosα.证明：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.证明：右边＝[(1－sinα)＋cosα]2＝(1－sinα)2＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝1－2sinα＋sin2α＋cos2α＋2cosα(1－sinα)＝2－2sinα＋2cosα(1－sinα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，∴原式成立.给条件求值类型3(1)已知A∈0，π2，且cosA－sinA＝12，则cosA＋sinA＝()A．±72B.－72C．－52D.72(2)已知tanα＝－12，则2sinαcosαsin2α－cos2α的值是()A.43B.3C．－43D.－3【解析】(1)由cosA－sinA＝12得(cosA－sinA)2＝14，∴cos2A－2sinAcosA＋sin2A＝14，∴2sinAcosA＝34，∴(cosA＋sinA)2＝1＋2sinAcosA＝74.∵A∈0，π2，∴cosA＋sinA0，∴cosA＋sinA＝72，故选D.(2)2sinαcosαsin2α－cos2α＝2sinαcosαcos2αsin2α－cos2αcos2α＝2tanαtan2α－1＝43，故选A.【答案】(1)D(2)A【知识点拨】给条件求值问题常见的两种类型(1)关于sinα，cosα的齐次式求值，只要分子与分母同除以cosα(或cos2α)转化为关于tanα的函数式；(2)sinα±cosα，sinαcosα之间的关系：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，三个中知道一个，可以求其他两个，解决问题时要注意判断它们的符号．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43B.54C．－34D.45解析：解法一：tanθ＝sinθcosθ＝2，∴sinθ＝2cosθ.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴5cos2θ＝1，∴cos2θ＝15，sin2θ＝45，原式＝45＋2cos2θ－2cos2θ＝45.故选D.解法二：原式＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝4＋2－25＝45.故选D.答案：D即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一同角三角函数关系式1．已知sinα＝45，α∈(0，π)，则tanα等于()A.43B.34C．±34D.±43解析：∵sinα＝45，α∈(0，π)，∴cosα＝±1－sin2α＝±35，∴tanα＝sinαcosα＝±43.答案：D2．若sinθ·cosθ＝12，则下列结论中一定成立的是()A．sinθ＝22B.sinθ＝－22C．sinθ－cosθ＝1D.sinθ－cosθ＝0解析：∵sinθcosθ＝12，∴2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝0，∴sinθ－cosθ＝0，故选D.答案：D知识点二给值求值3．若θ满足sinθ＋cosθ＝2，那么tanθ＋1tanθ的值为()A．－1B.－2C．1D.2解析：由sinθ＋cosθ＝2，得sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝2，∴2sinθcosθ＝1，sinθcosθ＝12，∴tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θcosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.答案：D4．若sinα＝2cosα，则sinα－cosαsinα＋2cosα＝________.解析：sinα－cosαsinα＋2cosα＝2cosα－cosα2cosα＋2cosα＝14.答案：14知识点三化简5．化简：1－2sinα2cosα2＋1＋2sinα2cosα20απ2.解：原式＝sin2α2－2sinα2cosα2＋cos2α2＋sin2α2＋2sinα2cosα2＋cos2α2＝cosα2－sinα22＋cosα2＋sinα22＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2，∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4，∴cosα2－sinα20，sinα2＋cosα20，∴原式＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2＝2cosα2.