2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用本章整合提升课件 新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用本章整合提升1导数的几何意义及其应用专题导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线上，它是连接曲线和其切线的“桥梁”．求曲线的切线方程时，一定要弄清题目中所给的点是不是切点，即分清在某点处的切线与过某点的切线的不同，在某点处的切线中的某点一定是切点，过某点的切线中的某点不一定是切点，在解题时，要提起足够的重视．已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．【解】(1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x20＝4，∴x0＝±2.∴切点为(2,4)或－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋43＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.2函数的单调性及其应用专题利用导数研究函数的单调性历年来是高考中的重点，考查的知识有：(1)判断函数的单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知函数的单调性，求字母的取值范围．已知函数f(x)＝ex－1＋a，函数g(x)＝ax＋lnx，a∈R.(1)求函数y＝g(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)g(x)的定义域为(0，＋∞)，∵g(x)＝ax＋lnx，a∈R，∴g′(x)＝a＋1x＝ax＋1x，当a≥0时，g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a0时，令g′(x)≥0，得0x－1a；令g′(x)0，得x－1a.所以g(x)的增区间为0，－1a，减区间为－1a，＋∞.(2)f(x)≥g(x)＋1，即ex－1－lnx＋a－ax－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，设F(x)＝ex－1－lnx＋a－ax－1，考虑到F(1)＝0，F′(x)＝ex－1－1x－a，在[1，＋∞)上为增函数，∵x≥1，ex－1－1x≥0，∴当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)在[1，＋∞)上为增函数，F(x)≥0恒成立，当a0时，F′(1)0，F′(x)在[1，＋∞)上为增函数，∃x0∈(1，＋∞)，在(1，x0)上，F′(x)0，F(x)递减，F(x)0，这时不合题意，综上所述，a≤0.故实数a的取值范围为(－∞，0].3函数的极值与最值问题专题函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性的概念，最大值与最小值是整个区间上的最大值与最小值，利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．已知函数f(x)＝13x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)．(1)若x＝1为f(x)的极值点，求a的值；(2)若y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0，求f(x)在区间[－2,4]上的最大值；(3)当a≠0时，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)，∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，即a2－2a＝0，得a＝0或a＝2，经检验a＝0或a＝2符合题意．∴a的值为a＝0或a＝2.(2)由题意得f1＝2，f′1＝－1，得a＝1，b＝83.∴f(x)＝13x3－x2＋83，f′(x)＝x2－2x.令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.又f(0)＝83，f(2)＝43，f(－2)＝－4，f(4)＝8.∴f(x)在区间[－2,4]上的最大值为8.(3)∵函数f(x)在(－1,1)内不单调，∴f′(x)在(－1,1)上存在零点，而f′(x)＝0的两根为a－1，a＋1区间长为2，∴f′(x)在(－1,1)上不可能有两个零点，∴f′(－1)·f′(1)＜0，∵a2＞0，∴(a＋2)(a－2)＜0，得－2＜a＜2.又a≠0，∴a∈(－2,0)∪(0,2).4高考中的定积分专题定积分是新课标中的新增内容，在高考中主要从以下三个方面进行考查：(1)计算定积分直接给出定积分表达式，求其值．通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．(2)已知定积分的值，求定积分中参数常用解法：利用定积分的值，构造方程加以解决．(3)应用定积分主要是求围成的平面图形的面积或求一些物理量．【解】如图所示，所求面积S＝SA＋SB，解方程组y2＝2x，y＝4－x，得交点坐标为(2,2)，(8，－4)．A部分：由于抛物线的上半支方程为y＝2x，下半支方程为y＝－2x，所以：求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．