2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A

第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.2定积分在物理中的应用梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．‖知识梳理‖1．做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即_____________.2．如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)所做的功为W＝______________.s＝abv(t)dtabF(x)dx解剖难点探究提高重点难点突破用定积分求变速直线运动的路程和位移时，首先要分清运动过程中物体运动的变化情况，即找出v(t)≥0的时间段及v(t)＜0的时间段，然后分别求积分；即求各段上的位移，而路程是各段位移的绝对值之和．求变力所做的功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，在求功之前要明确位移的起始位置与终止位置，再根据变力做功公式W＝abF(x)dx即可求出变力所做的功.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一变速直线运动的路程有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝4t－t2，(速度的正方向与x轴正方向一致)．(1)求点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后返回原点时的t值．【思路探索】利用定积分求解．【解】(1)由v(t)＝4t－t2≥0，得0≤t≤4，∴当0≤t≤4时，P点向x轴正方向移动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．∴当t＝6时，点P离开原点的路程，s1＝04(4t－t2)dt－46(4t－t2)dt当t＝6时，点P的位移为s2＝06(4t－t2)dt＝0.(2)由题意得0t(4t－t2)dt＝0.即2t2－t33＝0，得t＝0或t＝6.∴点P从原点出发，又返回原点时t＝6.[名师点拨]由于路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒为正，若符号不定，先求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，求位移时直接利用定积分abv(t)dt即可.已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的高度．解：依题意，物体在时间区间[0，t]内下落的高度为题型二求变力做的功设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．【思路探索】先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的表达式，然后用积分求变力做功．【解】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意得F(x)＝kx，且当x＝0.05m时，F(0.05)＝100N，即0.05k＝100，∴k＝2000.∴F(x)＝2000x.∴将弹簧由25cm伸长到40cm时所做的功为[名师点拨]解决变力做功注意以下两个方面：①首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．②根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．如图，把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力，由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F＝k·qr2(k是常数)，当这个单位正电荷在电场中从r＝a处沿r轴移到r＝b处时，计算电场力F对它所做的功．解：取r为积分变量，则r∈[a，b]电场力F对单位正电荷所做的功为W＝abk·qr2dr＝kq－1rba＝kq1a－1b.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．质点沿直线以v＝3t＋2(t的单位为s，v的单位m/s)的速度运动，则该质点在第3s到第6s间的路程为()A．46mB．46.5mC．87mD.47m解析：s＝36(3t＋2)dt＝32t2＋2t63＝32×62＋12－32×32＋2×3＝46.5.答案：B2．物体做变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t1秒末时它所在的位置为()解析：依题意物体从t＝0到t1秒末走过的路程为∵t＝0时，物体所在的位置为s0，∴在t1秒末时它所在的位置为故选B.答案：B3．一物体在变力F(x)＝5－x2(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与F(x)成30°角的方向做直线运动，则从x＝1处运动到x＝2处时变力F(x)所做的功为()A.233JB．3JC.433JD.23J解析：由已知条件可得，F(x)所做的功为3212(5－x2)dx＝433J.答案：C4．一质点在直线上以速度v＝1π·4－t2，t∈[0，2]2－t，t∈2，3](m/s)运动，从时刻t＝0(s)到t＝3(s)时质点运动的路程为()A．2mB．32mC．1mD.12m解析：该质点从时刻t＝0(s)到t＝3(s)时质点运动的路程：S＝021π4－t2dt－23(2－t)dt＝1－2t－12t232＝1＋12＝32.答案：B5．已知一物体在力F(x)＝8，0≤x≤2，2x＋4，x＞2，(单位：N)的作用下，沿与F(x)相同的方向运动了6m，求力F(x)所做的功．解：W＝06F(x)dx＝028dx＋26(2x＋4)dx＝16＋(36＋24)－(22＋4×2)＝64(J)．∴力F(x)所做的功为64J.