2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.4.3 含有一个量词的命题的否定课件 新人

第一章常用逻辑用语1．4全称量词与存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解全称命题、特称命题与其否定之间的关系．2．能正确的对含有一个量词的命题进行否定．‖知识梳理‖含有一个量词的命题的否定全称命题__________________否定_____________∃x0∈M，綈px0∀x∈M，px特称命题解剖难点探究提高重点难点突破1．全称命题的否定对全称命题的否定应注意两点：一是更换量词，即把全称量词更换为存在量词；二是否定结论．全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反，因此，要证明一个全称命题是假命题只要举出一个反例即可．2．特称命题的否定特称命题的否定是全称命题，否定时也应注意两点：一是把存在量词更换为全称量词，二是否定结论．其特称命题的否定与特称命题真假性相反．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一全称命题的否定写出下列全称命题的否定，并判断真假．(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；(2)所有的正方形都是矩形；(3)所有能被5整除的整数都是奇数；(4)对任意的x∈Q，x2＋x＋12是有理数．【思路探索】全称命题的否定是特称命题，因此，更换全称量词为存在量词，否定结论．特称命题与全称命题真假性相反．【解】(1)命题的否定：至少存在一个x0∈R，使x30－x20＋10成立．如：当x0＝2时，23－22＋1＝50，是真命题．(2)命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)命题的否定：至少存在一个能被5整除的整数不是奇数，是真命题．(4)命题的否定：∃x0∈Q，x20＋x0＋12不是有理数．因为有理数的加、减、乘、除的运算结果还是有理数．所以，命题的否定是假命题．[名师点拨]在写全称命题的否定时，要注意两个方面：一是注意全称量词改写为存在量词；二是结论的否定．如果命题中量词省略了，应将量词补充之后再写它的否定.(1)(2019·凌源期末)命题∀x0,2x1的否定是()A．∀x0,2x1B．∀x0,2x≤1C．∃x00,2x01D．∃x00,2x0≤1(2)(2019·江南十校检测)已知命题p：∀x0,3x＋x21，则﹁p为()A．∃x00,3x0＋x20≤1B．∃x0≤0,3x0＋x20≤1C．∀x0,3x＋x2≤1D．∀x≤0,3x＋x2≤1解析：(1)命题∀x0,2x1的否定为∃x00,2x0≤1，故选D.(2)命题p的否定为∃x00,3x0＋x20≤1，故选A.答案：(1)D(2)A题型二特称命题的否定写出下列特称命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R,3x0＋1≤0；(2)有一个奇数不能被3整除；(3)存在实数m0，使方程x2＋x－m0＝0有实根；(4)若an＝－2n＋10，则存在n0∈N，使Sn00(Sn是数列{an}的前n项和)．【思路探索】特称命题的否定是全称命题，因此更换存在量词为全称量词，否定结论即可．【解】(1)命题的否定：∀x∈R,3x＋10，是假命题．(2)命题的否定：任何奇数都能被3整除，是假命题．(3)命题的否定：对任意实数m，方程x2＋x－m＝0无实数根，是假命题．(4)命题的否定：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0(Sn是数列{an}的前n项和)，是假命题．[名师点拨]特称命题的否定是全称命题，在书写特称命题的否定时需把存在量词改为全称量词，同时也要否定结论．(1)(2019·上饶月考)命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x20≤x0－2，则﹁p是()A．∃x0∈(0，＋∞)，x20x0－2B．∀x∈(0，＋∞)，x2≤x－2C．∃x0∈(0，＋∞)，x20≥x0－2D．∀x∈(0，＋∞)，x2x－2(2)(2019·永春月考)命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得nx20答案：(1)D(2)D题型三含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假．(1)非负数的平方是正数；(2)两条互相垂直的直线的斜率之积等于－1；(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.【思路探索】先分析是全称命题还是特称命题，然后进行否定，再判断真假．【解】(1)否定形式：存在一个非负数的平方不是正数．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(2)否定形式：存在两条互相垂直的直线的斜率之积不等于－1.因为当两条直线分别平行于坐标轴时，斜率之积不存在，所以是真命题．(3)否定形式：∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3.因为当x＝0，y＝3时，有2x0＋3＝3.所以是假命题．[名师点拨]一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．常见词语的否定形式正面词语是都是＞至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定词语不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A，使p(x0)假写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)∃x0∈R，使x20＝1；(2)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(3)∃x0，y0∈R，如果x0＋|y0|＝0，则x0＝0且y0＝0；(4)所有能被5整除的整数都是奇数．解：(1)命题的否定是：∀x∈R，使x2≠1.是假命题．(2)命题的否定是：∃x0∈R，x20－3x0＋2≠0.是真命题．(3)命题的否定是：∀x，y∈R，如果x＋|y|＝0，则x≠0或y≠0.是假命题．(4)命题的否定是：存在能被5整除的整数不是奇数．是真命题．题型四由含量词的命题求参数已知m∈R，设p：∀x∈[－1,1]x2－2x－4m2＋8m－2≥0成立；q：∃x0∈[1,2]log12(x20－mx0＋1)－1成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【思路探索】分别求出命题p和命题q为真命题时m的取值范围，再根据题意列不等式组求解．【解】若p为真，设f(x)＝x2－2x－4m2＋8m－2＝(x－1)2－4m2＋8m－3，∴x∈[－1,1]f(x)min＝－4m2＋8m－3≥0，∴12≤m≤32.若q为真，∃x0∈[1,2]log12(x20－mx0＋1)－1，即x20－mx0＋12，∴mx20－1x0，只需mx20－1x0max，∵g(x)＝x2－1x＝x－1x在[1,2]为增函数，∴当x0＝2时，x20－1x0max＝32.∴m32.∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假，当p真q假时，12≤m≤32，m≥32，∴m＝32；当p假q真时，m12或m32，m32，∴m12，综上，m的取值范围是[名师点拨]全称量词“∀”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“∃”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，含参数的问题可以利用参数分离法求参数的取值范围.若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6]B．[－6，－2]C．(2,6)D．(－6，－2)解析：∵命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ＝m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.答案：A即学即练稳操胜券课堂基础达标1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0解析：全称命题的否定是特称命题．答案：D2．(2019·闽侯二中期末)“∃x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定是()A．∃x0∈R，x20－x0＋10B．∀x∈R，x2－x＋10C．∃x0∈R，x20－x0＋1≥0D．∀x∈R，x2－x＋10解析：特称命题的否定是全称命题．答案：D3．(2019·分宜月考)若命题：对任意x∈R，kx2－kx－10是真命题，则实数k的取值范围是()A．(－4,0)B．(－4,0]C．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：由题可知，当k＝0时，不等式可化为－10，恒成立，符合题意；当k≠0时，若对任意x∈R，kx2－kx－10是真命题，则k0，Δ＝k2＋4k0，即－4k0，综上，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：B4．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a0，则实数a的取值范围是________．解析：当a≤0时，显然存在x0∈R.使ax20＋2x0＋a0成立．当a0时，需满足Δ＝4－4a20，解得－1a1，故0a1.综上，知a1.答案：(－∞，1)5．已知命题p：“∃a00，使函数f(x)＝a0x2－4x在(－∞，2)上单调递减”，命题q：“∃a0∈R，使∀x∈R,16x2－16(a0－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a0的取值范围．解：若p为真，则对称轴x＝－－42a0＝2a0≥2，又∵a00，∴0a0≤1.若q为真，则方程16x2－16(a0－1)x＋1＝0无实根，∴Δ＝[16(a0－1)]2－4×16×10，即4a20－8a0＋30，∴12a032.∵命题“p∧q”为真命题，∴0a0≤1，12a032，∴12a0≤1.∴实数a0的取值范围是12，1.