2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式课件 新人教B版选修

第一章常用逻辑用语1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.2命题的四种形式学习目标核心素养1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．(重点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点、易混点)1.通过学习四种命题的概念及其它们之间的关系，培养学生的数学抽象素养.2.利用命题的等价性解决问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1．四种命题栏目内容名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和，那么这样的两个命题叫做其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的原命题为“若p，则q”，逆命题为“”结论若q，则p逆命题互逆命题．条件互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的原命题为“若p，则q”；否命题为“”条件的否定结论的否定否命题若綈p，则綈q互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的原命题为“若p，则q”；逆否命题为“”结论的否定逆否命题否定条件的若綈q，则綈p思考1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？[提示]因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)形式关系(2)真假关系①互为逆否的两个命题是的，它们有的真假性．②互逆或互否的两个命题是的，它们的真假性思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？等价没有关系．不等价相同[提示]互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误．1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[由原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题．]2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题A[两个命题条件与结论互换，故互为逆命题．]3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题D[原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．]4．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的否命题为________，是________命题(填“真”或“假”)．已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2≠0，则λ≠0或μ≠0真[否命题即把原命题的条件和结论都否定．]合作探究提素养四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x＞10，那么x0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[解](1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.1．命题：“若a·b≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则a·b＝0[由“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”可得．]2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)当c0时，若ab，则ac＞bc；(2)正数m的平方大于0.[解](1)逆命题：当c0时，若ac＞bc，则a＞b；否命题：当c0时，若a≤b，则ac≤bc；逆否命题：当c0时，若ac≤bc，则a≤b.(2)逆命题：若m20，则m0；否命题：若m≤0，则m2≤0；逆否命题：若m2≤0，则m≤0.四种命题间的关系及真假判断【例2】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[解](1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0，假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.3．下列命题：①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“如果ac2bc2，则ab”的逆命题．其中真命题是________．①②③[①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2bc2，则ab”的逆命题是“如果ab，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.]4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若ab，则∠A∠B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.[解](1)逆命题：在△ABC中，若∠A∠B，则ab.真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B.真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；否命题：若∉A，则x∉A∩B.真命题；逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题.等价命题的应用[探究问题]1．四种命题中相互等价的命题是________与________，________与________．[提示]原命题逆否命题逆命题否命题2．直接证明原命题有困难时，应如何证明？[提示]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．【例3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[思路探究]可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．[解]法一：逆否命题为：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，对应方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a1，所以4a－70，即抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74.因为a≥741，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真．法三：命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集，命题q：a≥1.所以命题p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝aa≥74.命题q：B＝{a|a≥1}．因为A⊆B，所以“若p，则q”为真，所以“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真，即原命题的逆否命题为真．1．(改变问法)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a＜2”的逆命题的真假．[解]逆命题为：已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，对应方程的判别式Δ＝4a－7，因为a＜2时，4a－7＜1，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定为空集．故逆命题为假命题．2．(变换条件)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋20的解集是R，则a74”的逆否命题的真假．[解]先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋20的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0，所以a74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．当堂达标固双基1．思考辨析(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．()(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题．()(3)命题“若x2＞y2，则x＞y”的否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．()[提示](1)√(2)√(3)ד若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．故“若x2＞y2，则x＞y”的否命题为“若x2≤y2，则x≤y”2．命题：“若x21，则－1x1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1x1，则x21C．若x1，或x－1，则x21D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1[答案]D3．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2[答案]B4．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________；否命题是________；逆否命题是________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.