2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.1 不等式的基本性

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系，掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质，能够运用不等式的性质比较大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法．自主预习探新知教材整理1不等式的性质1．对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：ab⇔；ab⇔；a＝b⇔.2．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔.(2)传递性：ab，bc⇒.a－b＝0a－b0a－b0baac教材整理1不等式的性质(3)加(减)：ab⇒.(4)乘(除)：ab，c0⇒；ab，c0⇒.(5)乘方：ab0⇒.(6)开方(取算术根)：ab0⇒.(7)可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.(8)可乘性：ab0，cd0⇒acbd.a＋cb＋cacbcacbcanbn，其中n为正整数，且n≥2nanb，其中n为正整数，且n≥2若a，b是任意实数，且ab，则()A．a2b2B.ab1C．lg(a－b)0D.12a12b[解析]ab并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立．又ab⇒a－b0，但不能保证a－b1，从而不能保证C成立．显然D成立．事实上，指数函数y＝12x是减函数，所以ab⇔12a12b成立．[答案]D教材整理2一元一次不等式的解法关于x的不等式axb，(1)当a0时，该不等式的解集为；(2)当a0时，该不等式的解集为；(3)当a＝0时，若b0，则该不等式的解集为；若b≥0，则该不等式的解集为ba，＋∞－∞，baR不等式组x＋9＜5x＋1，x＞m＋1的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是()A．m≤2B．m≥2C．m≤1D．m≥1[解析]原不等式组可化为x＞2，x＞m＋1.∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，∴m≤1.[答案]C教材整理3一元二次不等式的解法形如ax2＋bx＋c0(a0)的解法：Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不等的实根x1，x2且x1x2有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2无实根ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集_________________________{x|xx1或xx2}xx≠－b2aR{x|x1xx2}不等式－x2＋5x－60的解集是()A．{x|2x3}B．{x|x2或x3}C．{x|－1x6}D．{x|x－1或x6}[解析]原不等式可化为x2－5x＋60，即(x－2)(x－3)0，所以原不等式的解集为{x|2x3}．[答案]A合作探究提素养比较大小【例1】(1)已知x3，比较x3＋3与3x2＋x的大小；(2)若m0，试比较mm与2m的大小．[精彩点拨](1)只需考查两者的差同0的大小关系；(2)注意到2m0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．[自主解答](1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)0，∴x3＋33x2＋x.(2)mm2m＝m2m，当m＝2时，m2m＝1，此时mm＝2m；当0m2时，0m21，m2m1，∴mm2m；当m2时，m21，m2m1，∴mm2m.1．利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．2．在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．3．利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．1．已知A＝1x＋1y，B＝4x＋y，其中x，y为正数，试比较A与B的大小．[解]A－B＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxyx＋y＝x－y2xyx＋y.∵x，y均为正数，∴x0，y0，xy0，x＋y0，(x－y)2≥0，∴A－B≥0，即A≥B.利用不等式的性质求范围【例2】设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，在求f(－2)的取值范围时有如下解法：由1≤f－1≤2，2≤f1≤4，得32≤a≤3，0≤b≤32.∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12.上述解法是否正确？为什么？[精彩点拨]本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(－2)的范围扩大．因此需要将f(－2)用a－b与a＋b整体表示．[自主解答]给出的解法不正确．设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b.于是m＋n＝4，m－n＝2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.因此，f(－2)的取值范围是[5,10]．1．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．2．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径．2．已知－6a8,2b3，分别求a－b，ab的取值范围．[解]∵－6a8,2b3.∴－3－b－2，∴－9a－b6，则a－b的取值范围是(－9,6)．又131b12，(1)当0≤a8时，0≤ab4；(2)当－6a0时，－3ab0.由(1)(2)得－3ab4.因此ab的取值范围是(－3,4)．一元二次不等式的解法【例3】解下列关于x的一元二次不等式．(1)3x2＋5x－20；(2)9x2－6x＋10；(3)x2－4x＋50.[精彩点拨]先由不等式确定对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，再根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象确定不等式的解集．[自主解答](1)方程3x2＋5x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝13，函数y＝3x2＋5x－2的图象开口向上，与x轴交于两个点(－2,0)，13，0，观察图象可得不等式3x2＋5x－20的解集为xx13或x－2.(2)方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝13，二次函数y＝9x2－6x＋1的图象开口向上，与x轴仅有一个交点13，0，观察图象可以得到不等式9x2－6x＋10的解集为xx≠13.(3)方程x2－4x＋5＝0可化为(x－2)2＋1＝0，故方程x2－4x＋5＝0没有实数根，函数y＝x2－4x＋5的图象开口向上并且与x轴没有交点，由图象可得，不等式x2－4x＋50的解集为R.当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可以分为三步：(1)确定对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(3)由图象得出不等式的解集．3．不等式x2＋x－2≤0的解集为________．[解析]方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1，函数y＝x2＋x－2的图象开口向上，∴不等式x2＋x－2≤0的解集为[－2,1]．[答案][－2,1]含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.[精彩点拨]由于a∈R，故分a＝0，a＞0，a＜0讨论．[自主解答]若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，即x＞1.若a＜0，原不等式可化为x－1a(x－1)＞0，即x＜1a或x＞1.若a＞0，原不等式可化为x－1a(x－1)＜0.(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈；(2)当a＞1时，由(*)式可得1a＜x＜1；(3)当0＜a＜1时，由(*)式可得1＜x＜1a.综上所述：当a＜0时，解集为xx＜1a或x＞1；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，解集为；当a＞1时，解集为x1a＜x＜1.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．4．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30(a∈R)．[解]原不等式可化为(x－a)(x－a2)0，∴当a0时，aa2，解集为{x|xa或xa2}；当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；当0a1时，a2a，解集为{x|xa2或xa}；当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；当a1时，aa2，解集为{x|xa或xa2}．综上所述：当a0或a1时，解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，解集为{x|x≠0}；当a＝1时，解集为{x|x≠1}．一元二次不等式的应用【例5】设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实数根x1，x2且0x11x22，求a的取值范围．[精彩点拨]若把方程左边看成二次函数f(x)，则它的图象是开口向上的抛物线，与x轴相交的条件是f(0)0，f(1)0，f(2)0，所以只需解关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．[自主解答]设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.∵x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0x11,1x22，∴有f00，f10，f20，即a2－a－20，7－a＋13＋a2－a－20，28－2a＋13＋a2－a－20，∴有a2－a－20，a2－2a－80，a2－3a0，∴有a－1或a2，－2a4，a0或a3.∴有－2a－1或3a4.∴a的取值范围是{a|－2a－1或3a4}．解关于二次方程根的分布问题，应考虑“三个二次”的关系，分清对应的二次函数的开口方向及根所在区域的范围，画出对应的二次函数的图象，根据图象列出有关的不等式或不等式组进行求解．5．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？[解](1)由题意知，日利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由日利润不少于1300元．得－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1300元．(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2x－6522＋32252，由题意知，x为正整数．故当x＝32或33时，y最大为1612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1612元．可化为一元二次不等式的分式不等式的解法【例6】解不等式：x