2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 5 不等式的应用课件 北师大版选修4-

第一章不等关系与基本不等式§5不等式的应用学习目标：1.理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法．(重点)2.能利用不等式解决一些实际问题．(难点)自主预习探新知教材整理不等式应用的类型及步骤阅读教材P23～P24，完成下列问题．1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题．2．解不等式应用问题的四个步骤(1)____，必要时画出示意图．(2)建立__________，即根据题意找出常数量和变量的不等关系．(3)利用________________解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号．(4)作出问题结论．审题不等式模型不等式的有关知识填空：(1)不等式|2x－1|x的解集为________．(2)长为2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为________．(3)若abc且a＋b＋c＝0，则a的符号为________，c的符号为________．[解析](1)|2x－1|x等价于2x－1x或2x－1－x，即x1或x13，所以解集为xx1或x13.(2)设矩形的长为x，宽为y，则2x＋2y＝2，即x＋y＝1，所以面积S＝xy≤x＋y22＝14，故最大面积为14.(3)由abc且a＋b＋c＝0知3aa＋b＋c＝0，即a0,3ca＋b＋c＝0，即c0.[答案](1)xx1或x13(2)14(3)正负合作探究提素养不等式解法的应用【例1】已知0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A．－1＜a＜0B．0＜a＜1C．1＜a＜3D．3＜a＜6[精彩点拨]原不等式――→变形关于x的方程――→讨论二次项系数满足的条件――→韦达定理结果[自主解答]由(x－b)2＞(ax)2，得x2(1－a2)－2bx＋b2＞0.若恰有3个整数解，必须满足1－a2＜0，即a＞1或a＜－1(舍去)．设不等式对应方程两根为x1，x2，则|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝2b1－a22－4·b21－a2＝4a2b21－a22＝2aba2－1.又不等式有3个整数解，∴22aba2－1≤3，解得b≥3a2－32a.由已知0b＜1＋a，得3a2－32a＜1＋a，解得1＜a＜3，∴1＜a＜3.[答案]C1．“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化．2．对二次项系数含有参数的式子要进行讨论．1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)[解析]对任意x∈R，均有|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴原不等式恒成立，只需a2－3a≥4.则a2－3a－4≥0，解得a≥4或a≤－1，∴实数a的取值范围是a≥4或a≤－1.[答案]A利用不等式解决实际问题中的大小问题【例2】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，则甲、乙二人谁先到达指定地点？[精彩点拨]本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力．[自主解答]设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.∴t1＝2sm＋n，t2＝sm＋n2mn，∴t1－t2＝2sm＋n－sm＋n2mn＝s[4mn－m＋n2]2mnm＋n＝－sm－n22mnm＋n.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t20，即t1t2，从而知甲比乙先到达指定地点．对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．2．设甲、乙两地距离为s，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v1(v10)，已知船在静水中的速度为v2(v20)，试比较v1和v2的大小．[解]设水流速度为v(v0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t＝sv2＋v＋sv2－v＝2sv2v22－v2，∴平均速度v1＝2st＝v22－v2v2.∵v10，v20，∴v1v2＝v22－v2v2v2＝v22－v2v22＝1－vv21，∴v1v2.实际问题中不等式的应用【例3】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．[精彩点拨](1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y与x的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值．[自主解答](1)设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知ax＝360，得a＝360x，∴y＝225x＋3602x－360(x＞0)．(2)∵x＞0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800，∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用平均值不等式求最值―――――→“＝”成立的条件结论3．如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？[解]设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2·x，其中0＜x＜a2.又V＝14(a－2x)·(a－2x)·4x≤14a－2x＋a－2x＋4x33＝2a327，当且仅当a－2x＝4x，即当x＝a6时，不等式取等号，此时V取最大值2a327.因此当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子的容积最大．当堂达标固双基1．函数y＝x2＋mx＋m2对一切x∈R都有意义，则实数m的取值范围是()A．m＞2B．m＜2C．m＜0或m＞2D．0≤m≤2[解析]由题意，Δ＝m2－4·m2≤0，所以0≤m≤2.[答案]D2．已知x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，则x＋y的最小值是()A．6B．42C．3＋22D．43[解析](x＋y)×1＝(x＋y)2x＋1y＝2＋1＋2yx＋xy≥3＋22.当且仅当2yx＝xy时，等号成立．[答案]C3．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1的图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n为正整数，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．[解析]易得an＝n2＋1，bn＝n，∴cn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，cn随n的增大而减小，∴cn＞cn＋1.[答案]cn＞cn＋14．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．[解析]设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3，又∵三角形为直角三角形，S＝12·3·4＝6，∴12h1·3＋12h2·4＋12h3·5＝6，∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3360h1h2h3，∴h1h2h3≤6460＝1615.[答案]16155．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？[解]由题意，列出不等式0.1x＋0.01x2＞12(x0)，解得x＜－40或x＞30.由于x＞0，从而可得x甲＞30km/h.由s乙＞10，得0．05x＋0.005x2＞10(x＞0)，解得x＞40，即x乙＞40km/h.所以超速行驶应负主要责任的是乙车．