2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第5课时 直角三角形的射影定理课

第5课时直角三角形的射影定理1．射影的有关概念：(1)从一点向一直线所引_____________，叫做这个点在这条直线上的正射影；(2)一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的________；(3)点和线段的________简称为射影．垂线的垂足正射影正射影2．直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的__________．比例中项比例中项【答案】C1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3B．4∶9C．6∶3D．不确定2．下列命题正确的是()A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似【答案】C3．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．【答案】①③④4．如图所示，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则有：CD2＝AD·______，AC2＝AD·______，BC2＝BD·______.【答案】DBABAB【例1】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.求：(1)线段AD在直线BC上的射影长；(2)线段DC在直线BC上的射影长；(3)线段BC在直线DC上的射影长．【解题探究】本题可先通过作垂线找到射影，然后再求其长．射影有关概念【解析】(1)过点D作DD1⊥BC于点D1，则BD1就是AD在直线BC上的射影，如图所示．因为四边形ABD1D为矩形，所以BD1＝AD＝1.所以线段AD在直线BC上的射影长为1.(2)由(1)的作图知，D1C就是线段DC在直线BC上的射影．因为DD1＝AB＝2，∠DCB＝60°，所以在直角三角形D1DC中，D1C＝D1Dtan60°＝23＝233.所以线段DC在直线BC上的射影长为233.(3)过B作BB1⊥DC于点B1，则B1C就是BC在直线DC上的射影．因为BC＝BD1＋D1C＝1＋233，所以B1C＝BC·cos60°＝1＋233×12＝12＋33.所以线段BC在直线DC上的射影长为12＋33.求线段在直线上的射影的长度，关键是先找到射影，找射影一般是通过由线段的端点作直线的垂线得到．1．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC．指出点A，B，C，D，E，F，G和线段AB，AC，AF，FG在直线BC上的射影．【解析】由AD⊥BC，EF⊥BC知：点A在BC上的射影是点D；点B在BC上的射影是点B；点C在BC上的射影是点C；点E，F，G在BC上的射影都是点E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC的射影是DE；FG在BC上的射影是点E.【例2】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．已知CD＝60，AD＝25，求BD，AB，AC，BC的长．射影定理【解题探究】射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高．本题满足以上两个条件，故可应用直角三角形的射影定理求解．【解析】因为△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以由射影定理，得CD2＝AD·BD．又CD＝60，AD＝25，所以602＝25·BD，解得BD＝144.所以AB＝AD＋BD＝25＋144＝169.又因为AC2＝AD·AB，所以AC＝AD·AB＝25×169＝65.又因为BC2＝BD·AB，所以BC＝BD·AB＝144×169＝156.直角三角形的射影定理有三个等式，本题在求线段的长度时，三个等式全用上了．2．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝________，BC＝________.【答案】3154【解析】在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4，sin∠ACD＝45，所以ADAC＝45，即AC＝5.在Rt△ABC中，由射影定理可知AC2＝AD·AB，则AB＝524＝254.由勾股定理，可得CD＝52－42＝3，BC＝2542－52＝154.【例3】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE·AB＝AF·AC．【解题探究】可在△ABD与△ADC中，应用直角三角形的射影定理证明或利用相似三角形证明．射影定理的应用【解析】方法一：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴由直角三角形的射影定理，得AD2＝AE·AB．在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，DF⊥AC，∴由直角三角形的射影定理，得AD2＝AF·AC．∴AE·AB＝AF·AC．方法二：∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠B＝90°.又∵DE⊥AB，∴∠BAD＋∠EDA＝90°.∴∠B＝∠EDA．又∠BAD＝∠DAE，∴△ADB∽△AED(两角对应相等的两个三角形相似)．∴ABAD＝ADAE，即AD2＝AE·AB．同理可证AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC．从以上两种证法不难看出，利用直角三角形的射影定理的方法一比应用相似三角形的方法二简单．3．(2016年泰安月考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.又DE⊥BC，在Rt△BDC中，由射影定理可知CD2＝CE·BC＝16，则CD＝4；BD2＝BE·BC＝48，则BD＝43.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得CD2＝AD·BD，∴AD＝CD2BD＝1643＝433.1．运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理；在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似联系，要注意它们的综合运用．2．应用射影定理证明问题时，由于定理有三个等式，因此要根据问题的需要进行选择．3．若题目条件中有直角三角形斜边上的高，往往会用到射影定理．4．应用射影定理可得到三角形的一些边长、比例式等．