2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1课时 平行线等分线段定理课件

第1课时平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在__________上截得的________相等，那么在其他________上截得的线段也相等．一条直线线段直线2．推论1：经过三角形一边的________与另外一边平行的直线必平分第三边．3．推论2：经过梯形一腰的________，且与底边平行的直线平分另一腰．中点中点1．如图，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4，则CO＝____.【答案】22．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，过O点作AD的平行线分别交AB，CD于M，N，则AMBM＝______，CNDN＝______.【答案】113．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a，b，c分别交于点A，E，B，直线CD与a，b，c分别交于点C，E，D，若AE＝EB，则有()A．AE＝CEB．BE＝DEC．CE＝DED．CEDE【答案】C4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于()A．9B．10C．11D．12【答案】A【例1】如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明．平行线等分线段定理【解题探究】本题的关键是先证明AN∥CM，然后根据点M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，易得点E为BF的中点，点F为DE的中点，故可得BE＝EF＝FD．【解析】BE＝EF＝FD．证明如下：∵M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，∴AM＝CN，AM∥CN.∴四边形ANCM为平行四边形．∴AN∥CM.在三角形ABF中，∵AF∥ME，且M为AB的中点，∴E为BF的中点，故BE＝EF.同理，在三角形CDE中，∵CE∥NF，且N为CD的中点，∴F为DE的中点，故DF＝EF.∴BE＝EF＝FD．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是()A．由AB＝BC可得FG＝GHB．由AB＝BC可得OB＝OGC．由CE＝2CD可得CA＝2BCD．由GH＝12FH可得CD＝DE【答案】B【例2】如图所示，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC，交BC于点F，求证：BF＝CF.经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边【解题探究】D是AC的中点，利用推论1知E是AB的中点，再利用推论1得F是BC的中点．【证明】在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC，∴E是AB的中点(根据推论1)．又∵EF∥AC且交BC于点F，∴F是BC的中点(根据推论1)．∴BF＝CF.在三角形中，只要给出一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点．本题也可以利用平行四边形和全等三角形来证明．【答案】B2．如图所示，在△ABC中，E是AB的中点，CD＝12AD，EF∥BD，EG∥AC交BD于点G.若EG＝5，则AC＝()A．10B．15C．20D．25【例3】如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，连接ED，EC，求证：ED＝EC．经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰【思路分析】在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于点F，即可得EF⊥DC且F是CD的中点，从而利用中垂线的性质得到结论．【证明】过点E作EF∥BC交DC于点F.因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AD∥EF∥BC．又因为E是AB边的中点，所以F是DC边的中点(根据推论2)．因为∠ADC＝90°，所以∠DFE＝90°.所以EF⊥DC于点F.又因为F是DC的中点，所以EF是DC的垂直平分线．所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或根据全等三角形对应边相等来证明．3．顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】B1．定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特殊的平行线组．2．求作等分点或证线段相等常常考虑用平行线等分线段定理．3．被平行线组所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．4．推论1、推论2是平行线等分线段定理的特殊情形．5．在几何证明题中，有很多以中点为条件的证明问题，合理选取中点，巧妙地运用三角形、梯形中位线的性质，可以使问题得到有效解决．另外，要注意灵活运用三角形、平行四边形、等腰梯形的有关定理及性质．6．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．