2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等

第3课时三个正数的算术—几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥______，当且仅当__________时等号成立．2．如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥________，当且仅当__________时等号成立．3abca＝b＝c3abca＝b＝c1．若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则abc的最大值是()A．1B．13C．127D．19【答案】C【解析】∵a，b，c∈R＋，∴abc≤a＋b＋c33＝127，当且仅当a＝b＝c＝13时，取“＝”号．故abc的最大值是127.2．若正实数x，y，z满足xyz＝8，则()A．x＋y＋z的最大值是6B．x＋y＋z的最小值是6C．x＋y＋z的最大值是8D．x＋y＋z的最小值是8【答案】B【解析】∵x，y，z∈R＋，∴x＋y＋z3≥3xyz＝2.故选B.3．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是______________．【答案】(－∞，3lg2]【解析】因为x，y，z∈R＋，所以xyz≤x＋y＋z33＝8，从而lg(xyz)≤lg8＝3lg2，即lgx＋lgy＋lgz≤3lg2.故lgx＋lgy＋lgz的取值范围为(－∞，3lg2]．4．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1.求证：x2＋y2＋z2≥13.【证明】由x＋y＋z＝1得，x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx＝1.又x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2zx，所以2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx.从而1＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤x2＋y2＋z2＋2(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥13.【例1】已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．【解题探究】依据约束条件x2y＝4进行配凑，使用平均不等式即可获得所求．用算术—几何平均不等式求最值【解析】∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3314x2·y＝3314×4＝3，当且仅当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.若a2b为常数，a＋b型通常拆成a2＋a2＋b(平均拆分)再利用平均不等式．1．若n＞0，则n＋32n2的最小值是________．【答案】6【解析】n＋32n2＝n2＋n2＋32n2≥33n2×n2×32n2＝6，当且仅当n＝4时等号成立，即n＋32n2的最小值是6.【例2】一块正方形铁皮边长为a，从它的四个角各剪去一个边长为x的正方形，把它余下的铁皮做一个无盖水箱，则x为多少时，水箱的容积最大？【解题探究】根据已知条件建立关系式，再根据结构合理配凑，利用平均不等式．用算术—几何平均不等式解决实际问题【解析】设无盖水箱的容积为V，∵0＜x＜a2，则V＝x(a－2x)2＝x(a－2x)(a－2x)＝14·4x(a－2x)(a－2x)≤144x＋a－2x＋a－2x33＝227a3，当且仅当a－2x＝4x，即x＝a6时取等号．故当x＝a6时，水箱的容积最大，且为227a3.若a＋b是常数，通常a2b型配凑成4×a2·a2·b，再利用平均不等式．2．如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD＝2x，梯形面积为S.求S的最大值．【解析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则B(1，－1)，代入抛物线方程可得2p＝1，∴抛物线方程为x2＝－y.∵CD＝2x，∴D(x，－x2)，则梯形的高为1－x2.∴梯形的面积为S＝12(2x＋2)(1－x2)＝(1＋x)(1－x2)，x∈(0,1)．S＝(1＋x)(1－x2)＝(1＋x)(1＋x)(1－x)＝12(1＋x)(1＋x)(2－2x)≤12×1＋x＋1＋x＋2－2x33＝3227，当且仅当x＋1＝2－2x，即x＝13时，S取得最大值且最大值为3227.用算术—几何平均不等式证明不等式【例3】设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)·1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.【解题探究】即证2(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥9，注意到(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2(a＋b＋c)，所以只需将左边配凑即可．【解析】∵a，b，c∈R＋，2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a.又1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥331a＋b·1b＋c·1c＋a，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．要善于观察不等式的结构，合理配凑，加强目标意识，利用基本不等式进行证明．3．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.【证明】∵a，b，c为正实数，∴1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3＝3abc.则1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abC．又3abc＋abc≥23abc·abc＝23，∴1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝63时等号成立．利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题．