2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十二 不等式 第43讲 二元一次不等式（组）与

专题十二不等式第43讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的______________．我们把直线画成虚线以表示区域__________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成__________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．答案：(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求______或______的函数线性目标函数关于x，y的________解析式可行解满足__________________的解可行域所有__________组成的集合最优解使目标函数取得__________或__________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__________或__________问题答案：一次最大值最小值一次约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的方法是直线定界，特殊点定域．①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域．对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有①当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组x≥0，x＋y≤3，y≥x＋1，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为()A．(0，3]B．[－1，1]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)(2)已知实数x，y满足x＋y≥2，x－y≤0，x－3y＋6≥0，则z＝y－x＋1x－1的取值范围为()A．(－∞，－2]∪32，＋∞B．(－∞，－3]∪12，＋∞C.－2，32D.－3，12解析：(1)直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM＝2－（－1）1－0＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.(2)z＝yx－1－1表示的是可行域内的点(x，y)与(1，0)连线的斜率减去1.画出可行域如下图所示，kAB＝32，kAC＝－2，即(x，y)与(1，0)连线的斜率取值范围是(－∞，－2]∪32，＋∞，去减去1得(－∞，－3]∪12，＋∞，故选B.答案：(1)D(2)B2．求目标函数的最值问题(1)变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x＋y－3的取值范围是()A.32，9B.－32，6C．[－2，3]D．[1，6](2)已知实数x，y满足约束条件x＋y≤1，x≥0，y≥0，则z＝y－x的最大值为()A．1B．0C．－1D．－2解析：(1)做出线性约束条件下的可行域，观察可知可行域为由三点12，3，(2，0)，(0，1)围成的三角形，当z＝3x＋y－3过点(2，0)时取得最大值3，过点(0，1)时取得最小值－2，所以取值范围是[－2，3]．(2)由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值解，由题意画出实数x，y满足约束条件，x＋y≤1，x≥0，y≥0，的可行域，如图，当z＝y－x经过M(0，1)时取得最大值．即zmax＝1－0＝1.故答案为A.答案：(1)C(2)A剖析：(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．3．线性规划的实际应用某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨：生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解析：设企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获利润z＝5x＋3y，且x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得x＝3，y＝4，所以zmax＝27(万元)，故选D.答案：D剖析：解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量．(2)列出线性约束条件和目标函数．(3)作出可行域并利用数形结合求解．(4)作答．1．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20，表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2kAB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．答案：B2．设变量x，y满足约束条件x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则目标函数z＝2x＋y的最大值是()A．2B．3C．5D．7解析：画出约束条件x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，表示的可行域，如图，由x＋y－2＝0，2x－3y－9＝0，可得x＝3，y＝－1，将z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图可知当直y＝－2x＋z经过点(3，－1)时，直线在y轴上的截距最大，z最大值为z＝2×3－1＝5.答案：C3．若实数x，y满足不等式组x－2y＋5≥0，3－x≥0，x＋y≥0，则z＝x＋2y的最小值是()A．－3B．－53C.53D．11解析：做出线性约束条件下的可行域，观察图形可知可行域为点－53，53，(3，－3)，(3，4)围成的三角形，当z＝x＋2y过点(3，－3)时取得最小值－3.答案：A4．已知x，y满足约束条件x≥1，x－y≤0，x＋2y≤9，若目标函数z＝ax＋y可在点(3，3)处取得最大值，则a的取值范围为()A.12，＋∞B.12，＋∞C.－1，12D.－1，12解析：x，y满足约束条件x≥1，x－y≤0，x＋2y≤9，的可行域如图，由目标函数z＝ax＋y可得y＝－ax＋z，由x－y＝0，x＋2y＝9，解得C(3，3)，可得－a≤－12，即a≥12.答案：A5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，则通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析：设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x，y的约束条件为x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，x＋2y≤12，2x＋y≤12.设获利z元，则z＝300x＋400y.画出可行域如图．画直线l∶300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值．由x＋2y＝12，2x＋y＝12，解得x＝4，y＝4，即M的坐标为(4，4)，故zmax＝300×4＋400×4＝2800(元).答案：C6．设变量x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，x－1≤0，则z＝x＋y＋3x＋3的最大值为()A.34B.23C.53D.138解析：约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，x－1≤0，画出的平面区域如下：另外，z＝x＋y＋3x＋3＝1＋y－0x－（－3），z要取得最大值，只要y－0x－（－3）取得最大值，而y－0x－（－3）看成是两点(x，y)和(－3，0)的斜率，当点(x，y)落在A处时，y－0x－（－3）最大，由2x＋y－2＝0，x－2y＋4＝0，得A(0，2)，所以z的最大值为zmax＝1＋2－00－（－3）＝53.故选C.答案：C7．若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋2x＋y2的最大值是()A．4B．9C．16D．18解析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(0，2)，B(0，－3)，C(3，－1)，而x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1＝PM2－1，其中M(－1，0)，P为可行域内一点，因为PM≤CM，所以x2＋2x＋y2的最大值是CM2－1＝16.答案：C8．已知实数x，y满足x－2y＋1≥0，x2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的取值范围是()A.53，5B．[0，5]C.53，5D.－53，5解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是－53，5.答案：D9．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：铁矿石a(含铁率)b(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析：设购买铁矿石A，B分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，x≥0，y≥0.目标函数z＝3x＋6y，由0.5x＋0.7y＝1.9，x＋0.5y＝2，得x＝1，y＝2.记P(1，2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值15.答案：1510．已知实数x，y满足不等式组2x－y＋2≥0，x＋y≤2，y≥0，则该不等式组表示的区域面积为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图，则A(0，2)，B(－1，0)，C(2，0)，则三角形ABC的面积S＝12×3×2＝3.答案：3