2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题七 基本初等函数Ⅱ（三角函数）第27讲 三角函

专题七基本初等函数Ⅱ（三角函数）第27讲三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，________，3π2，0，(2π，1)．答案：(π，－1)2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域____________R单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增最值当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性__________________对称中心(kπ，0)(k∈Z)π2＋kπ，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π____________答案：[－1，1][－1，1]奇函数偶函数奇函数2ππ1．三角函数的定义域和值域已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝cosx，－12·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin2x－π6.(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质知，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12，因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12.剖析：(1)先化简三角式；(2)把未知问题化归为已知问题．2．三角函数的单调性函数f(x)＝12－cos2π4－x的单调增区间是()A.2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈ZB.2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈ZC.kπ＋π4，kπ＋3π4，k∈ZD.kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z解析：f(x)＝12－cos2π4－x＝12－1＋cosπ2－2x2＝－12sin2x，即求g(x)＝12sin2x的单调递减区间．令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4，k∈Z.故选C.答案：C3．三角函数的周期性、对称性(1)函数f(x)＝tanωx(x＞0)图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段为π4，则fπ4的值是()A．0B．1C．－1D.π4(2)若函数f(x)＝2cosωx在区间0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A．2B.12C．3D.13解析：(1)由题意知，T＝π4.由πω＝π4，得ω＝4.所以f(x)＝tan4x，所以fπ4＝tanπ＝0.(2)由f(x)＝2cosωx在0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f2π3＝1，即2×cosω×2π3＝1⇒cos2π3ω＝12.检验各数据，得出B项符合．答案：(1)A(2)B1．下列关系式中，正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°解析：因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又y＝sinx在x∈0，π2上是增函数，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.答案：C2．已知函数y＝sin(2x＋φ)＋1的图象关于直线x＝－π8对称，则φ的可能取值是()A.3π4B．－3π4C.π4D.π2答案：A3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π解析：由y＝|sinx|图象易得函数单调递增区间为kπ，kπ＋π2，k∈Z，当k＝1时，得π，3π2为y＝|sinx|的一个单调递增区间．故选C.答案：C4．函数y＝x2－2sinx的图象大致是()答案：C5．已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为()A.x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈ZB.x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈ZC.x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈ZD.x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z解析：把f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，化为f(x)＝2sinx－π6，若f(x)≥1，则2sinx－π6≥1，sinx－π6≥12，所以2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，化简得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z.答案：B6．已知函数f(x)＝sinkx＋π5的最小正周期是π3，则正数k的值为________．解析：T＝2πk＝π3⇒k＝6.答案：67．函数y＝2sinx＋π6－1在区间0，2π3上的值域为________．解析：因为0＜x＜2π3，所以π6＜x＋π6＜5π6，所以sinπ6＜sinx＋π6≤1，即12＜sinx＋π6≤1，所以2×12－1＜2sinx＋π6－1≤1×2－1，所以0＜2sinx＋π6－1≤1，即0＜y≤1.答案：(0，1]8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为________．解析：f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.答案：329．设函数f(x)＝cosωx(3sinωx＋cosωx)，其中0＜ω＜2.(1)若f(x)的周期为π，求当－π6≤x≤π3时，f(x)的值域；(2)若函数f(x)图象的一条对称轴为x＝π3，求ω的值．解：f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝sin2ωx＋π6＋12.(1)因为T＝π，所以ω＝1.当－π6≤x≤π3时，2x＋π6∈－π6，5π6，所以f(x)的值域为0，32.(2)因为f(x)图象的一条对称轴为x＝π3，所以2ωπ3＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，ω＝32k＋12(k∈Z)，又0＜ω＜2，所以－13＜k＜1，又k∈Z，所以k＝0，ω＝12.10．已知函数f(x)＝2(sinx－cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若函数f(x)的图象过点α，65，π4＜α＜3π4，求fπ4＋α的值．解：(1)f(x)＝2(sinx－cosx)＝2sinx·22－cosx·22＝2sinx－π4所以函数的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．(2)依题意得2sinα－π4＝65，所以sinα－π4＝35，因为π4＜α＜3π4，所以0＜α－π4＜π2，所以cosα－π4＝1－sin2α－π4＝1－352＝45，fπ4＋α＝2sinα－π4＋π4＝2[sin(α－π4)cosπ4＋cos(α－π4)sinπ4]＝22235＋45＝725，所以fπ4＋α＝725.