2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题八 平面向量 第30讲 平面向量基本定理及坐标

专题八平面向量第30讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：不共线有且只有基底2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________，a－b＝________________，λa＝________，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法．①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝____________，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)(x2－x1，y2－y1)3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔________．答案：x1y2－x2y1＝01．平面向量基本定理的应用(1)在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝______(用e1，e2表示)．(2)如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝________．解析：(1)如图，MN→＝CN→－CM→＝CN→＋2BM→＝CN→＋23BC→＝－14AC→＋23(AC→－AB→)＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2.(2)AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.答案：(1)－23e1＋512e2(2)14a＋34b剖析：(1)应用平面向量．基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．平面向量的坐标运算(1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB→＝3a，则点B的坐标为()A．(7，4)B．(7，14)C．(5，4)D．(5，14)(2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()A．m≠－2B．m≠12C．m≠1D．m≠－1解析：(1)设点B的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，y－5)．由AB→＝3a，得x＋1＝6，y－5＝9，解得x＝5，y＝14.(2)若点A、B、C不能构成三角形，则只能三点共线．因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A、B、C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1，故选C.答案：(1)D(2)C剖析：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．3．向量共线的坐标表示已知点A(3，1)，B(－1，4)，则与向量AB→反方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35解析：AB→＝(－4，3)．法一：若设所求为a＝(x，y)，则（－4）×y－x×3＝0，|a|＝x2＋y2＝1，解得x、y后检验是否反向．法二：若设所求为a＝λAB→＝(－4λ，3λ)(λ0)．则|a|＝（－4λ）2＋（3λ）2＝1，解得λ＝－15，故选B.答案：B1．在△ABC中，已知AD→＝2DB→，且CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.23B.13C．－13D．－23答案：A2．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()A．(－2，－1)B．(2，1)C．(3，－1)D．(－3，1)答案：A3．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)答案：A4．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在直线AB上，且|AP→|＝32|PB→|，则点P的坐标为()A.165，－35B．(8，－15)C.165，－35或(8，－15)D.165，－35或(6，－9)答案：C5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为()A．(0，－2)B．(－4，2)C．(16，14)D．(0，2)答案：A6．已知a＝(cosx，2)，b＝(2sinx，3)，且a∥b，则tanx＋π4＝________．解析：根据题意，由于a＝(cosx，2)，b＝(2sinx，3)，那么可知3cosx－4sinx＝0，tanx＝34，所以tanx＋π4＝tanx＋11－tanx＝7，故答案为7.答案：77．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析：因为a与b方向相反，所以可设a＝λb(λ＜0)，所以a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)．8．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．解析：λa＋b＝0，b＝(2，1)，所以λ≠0且a＝－2λ，－1λ.因为|a|＝1，所以－2λ2＋－1λ2＝1，解得λ2＝5，得|λ|＝5.答案：59．在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量p＝1－sinA，127，q＝(cos2A，2sinA)，且p∥q.(1)求sinA的值；(2)若b＝2，S△ABC＝3，求a的值．解：(1)因为p∥q，所以127cos2A＝(1－sinA)·2sinA，所以5sin2A－7sinA－6＝0，所以sinA＝35或2，又sinA∈(0，1]，所以sinA＝35.(2)S△ABC＝12bcsinA＝3，b＝2，sinA＝35，所以c＝5，又cosA＝±45，当cosA＝45时，由余弦定理得a＝13，当cosA＝－45时，由余弦定理得a＝35.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知a＝(cosA，cosB)，b＝(a，2c－b)，且a∥b.(1)求角A的大小；(2)若b＝3，△ABC的面积S△ABC＝33，求a的值．解析：(1)因为a∥b，所以(2c－b)·cosA－a·cosB＝0，所以cosA·(2sinC－sinB)－sinA·cosB＝0，即2cosAsinC－cosAsinB－sinA·cosB＝0，所以2cosAsinC＝cosAsinB＋sinA·cosB，所以2cosAsinC＝sin(A＋B)，即2cosAsinC＝sinC.因为sinC≠0，所以2cosA＝1，即cosA＝12，又0Aπ，所以A＝π3.(2)因为b＝3由(1)知A＝π3，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×3c×32＝33，所以c＝4，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋42－2×3×4×12＝13，所以a＝13.