（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1

1．1.1正弦定理1.1正弦定理和余弦定理预习课本P2～3，思考并完成以下问题(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？一、预习教材·问题导入1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________asinA＝bsinB＝csinC.[点睛]正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．二、归纳总结·核心必记2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边，，__叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．abc解三角形1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立()(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知asinA＝bsinB，即bsinA＝asinB.(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．√√×三、基本技能·素养培优2．在△ABC中，下列式子与sinAa的值相等的是()A.bcB.sinBsinAC.sinCcD.csinC解析：选C由正弦定理得，asinA＝csinC，所以sinAa＝sinCc.3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于()A．52B．103C．1033D．56解析：选B由正弦定理得，b＝asinBsinA＝10×3212＝103.4．在△ABC中，A＝π6，b＝2，以下错误的是()A．若a＝1，则c有一解B．若a＝3，则c有两解C．若a＝45，则c无解D．若a＝3，则c有两解解析：选Da＝2sinπ6＝1时，c有一解；当a1时，c无解；当1a2时，c有两个解；a2时，c有一解．故选D.[典例]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.[解]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．考点一已知两角及一边解三角形已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[类题通法]1.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．32解析：选B由正弦定理得，BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23，故选B.[针对训练]2．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.解：∵asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．[典例]在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c.[解]由正弦定理及已知条件，有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32.∵ab，∴AB＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；考点二已知两边及其中一边的对角解三角形当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[类题通法]在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.解：∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∴A＝45°或A＝135°.又∵ca，∴CA.∴A＝45°.∴B＝75°，b＝csinBsinC＝6·sin75°sin60°＝3＋1.[针对训练][典例]在△ABC中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC的形状．[解][法一化角为边]∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·a2R＝b·b2R，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．考点三三角形形状的判断[法二化边为角]∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)化边为角．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．[类题通法]在△ABC中，已知acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理，asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以acosA＝bcosB可化为sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．[针对训练]