（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时

第一课时数列的概念与简单表示法2.1数列的概念与简单表示法预习课本P28～29，思考并完成以下问题(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？(2)数列的项与项数一样吗？(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？一、预习教材·问题导入1．数列的概念(1)定义：按照一定排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为)，a2称为第2项，…，an称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为．顺序每一个数首项{an}二、归纳总结·核心必记[规律总结](1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数____的数列无穷数列项数____的数列按项的变化趋势递增数列从第__项起，每一项都_____它的前一项的数列递减数列从第__项起，每一项都____它的前一项的数列常数列_________的数列摆动数列从第__项起，有些项_____它的前一项，有些项_____它的前一项的数列有限无限大于小于各项相等大于小于2223．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用________来表示，那么这个_____叫做这个数列的通项公式．序号n一个式子公式[规律总结](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,1,1，…是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)有些数列没有通项公式()解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．√×√三、基本技能·素养培优2．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项解析：选C∵an＝n－2n2，令n－2n2＝0.08，解得n＝10或n＝52(舍去)．3．数列的通项公式为an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，则a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8解析：选C由an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.4．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________.解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此x＝5＋8＝13.答案：13[典例]下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，13，132，133，…B．sinπ13，sin2π13，sin3π13，sin4π13，…C．－1，－12，－13，－14，…D．1,2,3,4，…，30考点一数列的概念及分类[解析]数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sinπ13，sin2π13，sin3π13，sin4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．[答案]C1．有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．2．数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递增数列；若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．[类题通法]给出以下数列：①1，－1,1，－1，…；②2,4,6,8，…，1000；③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④①③②④①③[针对训练][典例](1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，….考点二由数列的前几项求通项公式[解析](1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为an＝n＋23n＋2.[答案]an＝n＋23n＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴an＝1n＋1n＋3.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．an＝4＋(－1)n·2或an＝2，n是奇数，6，n是偶数.由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[类题通法]写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．[针对训练](3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝19(10n－1).[典例]已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？[解](1)由题设条件，知an＝n＋2n.∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n＋2n，解得n＝7214，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．考点三判定数列中项的问题已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．[类题通法][针对训练]已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由．解：(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7，或n＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，解得n＝－2，或n＝343.∵－2∉N*，343∉N*，∴68不是该数列的项．