（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第二课时 组合的综合

[典例]某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？第二课时组合的综合应用考点一数字排列问题[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24C46种选法；②选3名外科专家，共有C34C36种选法；③选4名外科专家，共有C44C26种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C24C46＋C34C36＋C44C26＝185种．(3)至多有2名外科专家的抽调方法有C66＋C14C56＋C24C46＝115种．[类题通法]有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．[针对训练]解:(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种放法，根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个盒子中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84种.[典例]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．考点二几何中的组合问题法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．[类题通法]解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．[针对训练]解析：从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12个四面体．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．答案：12[典例]用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？[解]法一直接法把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．考点三排列与组合的综合问题(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11040个符合要求的数．法二间接法如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故共有C35C25A55－C35C14A44＝11040个符合条件的数．[类题通法]解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．[针对训练]用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6个五位数；故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．(2)可分为两类：末位数是0，个数有A22·A22＝4；末位数是2或4，个数有A22·A12＝4；故共有A22·A22＋A22·A12＝8个满足条件的五位数．