（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第6讲 函数的单调性课件 新人教A版

第6讲函数的单调性【课程要求】1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性．2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(4)函数y＝f(x)的单调增区间为非空集合A，函数y＝f(x)在区间B上单调递增，则A＝B.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×教材改编2．[必修1p39B组T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________________．3．[必修1p44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是____________．[答案][1，＋∞)(或(1，＋∞))[解析]由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.[答案](－∞，2]易错提醒4．函数f(x)＝x2－2x－8的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[4，＋∞)[解析]由x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2，令x2－2x－8＝t，则y＝t为增函数，∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增区间便是原函数的单调递增区间，∴原函数的单调递增区间为[4，＋∞)．[答案]D5．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23[解析]因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f13.所以0≤2x－1＜13，解得12≤x＜23.[答案]D6．如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是()[解析]观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，故选A.[答案]A【知识要点】1．函数的单调性(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_________．当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．图象特征自左向右看图象是______自左向右看图象是_______减函数增函数上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)_______，区间D叫做f(x)的___________．2．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．单调性单调区间函数单调性的证明例1已知定义域为R的奇函数f(x)＝2x＋a2x.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明．[解析](1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，经检验，符合题意，∴a＝－1.(2)f(x)在R上是增函数．证明如下：由(1)可得，f(x)＝2x－12x，设x1，x2∈R，且x1x2，则121212112222xxxxfxfx1221112222xxxx12121222222xxxxxx121212212xxxx∵x1，x2∈R，且x1x2，1212122,102xxxx∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此，f(x)在R上是增函数．[小结]利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差；③变形(通常是因式分解、通分、配方)；④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的符号)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定区间D上的单调性)．1．判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在[1，2]上的单调性．[解析]法一：函数f(x)＝ax2＋1x(1a3)在[1，2]上单调递增．证明：设1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x1＝(x2－x1)a（x1＋x2）－1x1x2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，－1＜－1x1x2＜－14.又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－1x1x2＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．法二：因为f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在[1，2]上是增函数．函数单调性(区间)的判断例2(1)(多选)下列函数f(x)中，满足“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的是()A．f(x)＝1x－xB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝12x[解析]“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等价于函数为减函数，四个选项中，只有AD选项符合．[答案]AD(2)函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．[解析]去绝对值，得函数f(x)＝x2－3x＋2，x≥0，x2＋3x＋2，x0.当x≥0时，函数f(x)＝x2－3x＋2的单调递减区间为0，32；当x＜0时，函数f(x)＝x2＋3x＋2的单调递减区间为－∞，－32；综上，函数f(x)＝x2－3x＋2，x≥0，x2＋3x＋2，x0的单调递减区间为0，32，－∞，－32.[答案]－∞，－32，0，32[小结]1.掌握确定函数单调性(区间)的常用方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法．2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反；(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝f（x）的单调性相同．3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.[答案]D3．函数y＝lnxx的单调递减区间是()A.0，1eB.1e，＋∞C．(0，e)D．(e，＋∞)[解析]∵y′＝1－lnxx2，令y′0，解得xe.所以单调递减区间是e，＋∞，选D.[答案]D函数单调性的应用例3(1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)(e＝2.71828…为自然对数的的底数)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac[解析]因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f－12＝f52.由x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵1252e，∴f(2)f52f(e)，∴bac.[答案]D(2)已知函数f(x)＝ax2－x－14，x≤1，logax－1，x1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A.14，12B.14，12C.0，12D.12，1[解析]由对数函数的定义可得a0，且a≠1.又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－14的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有0a1，12a≥1，a×12－1－14≥loga1－1，即0a1，0a≤12，a≥14.所以a∈14，12.[答案]B(3)已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)()A．(－1，2)B．(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)[解析]由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．[答案]D[小结]1.比较函数值大小的解题思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．解函数不等式的解题思路：先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x))．3．利用单调性求参数的范围(或值)的方法：(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．4．已知函数f(x)＝x3，x≤0，ln（x＋1），x0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－1，2)D．(－2，1)[解析]∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)f(x)等价于2－x2x，即x