（新课标）2020高考物理二轮总复习 第一部分 专题突破方略 专题一 力与运动 1.1.4 万有引力

专题一力与运动第4讲万有引力定律及其应用高频考点1天体质量和密度的估算高频考点2天体运动中几个物理量的计算与比较栏目导航高频考点3卫星的变轨问题专题限时训练高频考点1天体质量和密度的估算〉〉视角一天体质量的估算[例1]如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是()A.l2Gθ3tB．θ3Gl2tC.l3Gθt2D．t2Gθl3答案：C解析：由题意知线速度v＝lt，角速度ω＝θt，由v＝ωr，得r＝lθ.“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2＝mω2r，解得M＝l3Gθt2，选项C正确．〉〉视角二天体密度的估算[例2](2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3答案：C解析：设脉冲星质量为M，密度为ρ，根据天体运动规律知：GMmr2＝m(2πT)2r，ρ＝MV＝M43πR3＝4π2r3T2G43πR3≥3πGT2，代入可得ρ≈5×1015kg/m3，故C正确．[规律方法]天体质量及密度的估算方法1．(多选)(2018·天津卷)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的()A．密度B．向心力的大小C．离地高度D．线速度的大小答案：CD解析：根据题意，已知卫星运动的周期T、地球的半径R、地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有GMmr2＝m4π2T2r，卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由GMmr2＝m4π2T2r解得r＝3GMT24π2，又mg＝GMmR2，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝2πrT，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确．2．美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周的飞行时间为t.已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()A．M＝4π2n2R＋h3Gt2，ρ＝3πn2R＋h3Gt2R3B．M＝4π2R＋h2Gt2，ρ＝3πn2R＋h2Gt2R3C．M＝4π2t2R＋h3Gn2，ρ＝3πt2R＋h3Gn2R3D．M＝4π2n2R＋h3Gt2，ρ＝3πR＋h3Gt2R3答案：A解析：探测器围绕土星飞行，万有引力提供它做圆周运动的向心力，有GmMR＋h2＝m(R＋h)2πT2，其中公转周期T＝tn，则土星的质量M＝4π2n2R＋h3Gt2.密度ρ＝M43πR3，代入质量可得土星的密度ρ＝3πn2R＋h3Gt2R3，A正确．3．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.3πg0－gGT2g0B．3πGT2C.3πg0GT2gD．3πg0GT2g0－g答案：D解析：物体在两极时受到的重力全部由万有引力提供，故mg0＝GMmR2①，物体在赤道上受到的万有引力一部分提供重力，另一部分提供向心力，故mg＋m2πT2R＝GMmR2②，由①得：R2＝GMg0，M＝g0R2G.将②两边同乘以R2，将R2＝GMg0代入得R3＝GMT2g0－g4π2g0，地球密度为M43πR3，将R3＝GMT2g0－g4π2g0代入化简得密度为3πg0GT2g0－g.故D项正确．高频考点2天体运动中几个物理量的计算与比较〉〉视角一天体运动参量的比较[例3](2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金R地R火，由此可以判定()A.a金a地a火B．a火a地a金C．v地v火v金D．v火v地v金答案：A解析：由万有引力提供向心力GMmR2＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，选项A正确、B错误；由GMmR2＝mv2R得v＝GMR可知轨道半径越小，运行速率越大，选项C、D错误．[规律方法]用好“二级结论”，理解参量比较问题做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供卫星所需的向心力，由GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝man可推导出v＝GMrω＝GMr3T＝4π2r3GMan＝GMr2⇒当r增大时，v减小ω减小T增大an减小即得二级结论：卫星越高，越慢．〉〉视角二宇宙速度的计算与比较[例4](多选)天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是()A．该行星的公转角速度比地球大B．该行星的质量约为地球质量的3.61倍C．该行星第一宇宙速度为7.9km/sD．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度答案：AB解析：根据ω＝2πT知地球的周期大于行星的周期，所以行星的角速度大于地球的角速度，故A正确；根据GMmR2＝mg，得M＝gR2G，因为行星表面重力加速度与地球相近，半径大约是地球的1.9倍，则质量约为地球质量的3.61倍，故B正确；根据mg＝mv2R，得v＝gR，因为半径是地球的1.9倍，则第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的1.9倍，故C错误；发射的速度达到地球的第二宇宙速度，将脱离地球的引力，绕太阳运动．要到达该星球，必须脱离太阳系，发射速度必须达到第三宇宙速度才可以，故D错误．[规律方法]对三个宇宙速度的理解1．第一宇宙速度：航天器在地球表面附近做匀速圆周运动时必须具备的速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，表达式为v1＝GMR或v1＝gR.其大小v1＝7.9km/s.2.第二宇宙速度：在地球表面附近发射飞行器，使其脱离地球引力所需的最小发射速度．地球的第二宇宙速度v2＝11.2km/s.3．第三宇宙速度：在地球表面发射飞行器，使其能够飞出太阳系所需的最小速度，地球的第三宇宙速度v3＝16.7km/s，三个宇宙速度的示意图如图所示．〉〉视角三重力加速度的计算与比较[例5](2018·绍兴模拟)M、N两颗行星对卫星产生的向心加速度an与卫星离行星中心距离r的图象如图所示，两颗行星的半径分别为R1、R2，下列说法正确的是()A．N行星的质量较小B．N行星的密度较大C．M行星的第一宇宙速度较小D．M行星表面的重力加速度较小答案：A解析：根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a＝GMr2，两曲线横坐标都是R2时，M的加速度较大，结合a与r2的反比关系可得M的质量大于N的质量，故A正确；根据ρ＝M4πR33，所以M的平均密度比N的大，故B错误；由A知M的质量大于N的质量，由题图可知，M的半径小于N的半径，第一宇宙速度v＝GMR，所以M的第一宇宙速度比N的大，故C错误；根据行星表面的重力等于万有引力，则mg＝GMmR2，M的质量大于N的质量，M的半径小于N的半径，所以M行星表面的重力加速度较大，故D错误．[规律方法]深刻理解“四个”重力加速度1．忽略地球自转时(1)在地球表面上，由mg＝GMmR2可得g＝GMR2.(2)在距地面高度h处，由mgh＝GMmR＋h2可得gh＝GMR＋h2.2．考虑地球自转时(1)在赤道上的物体，GMmR2－FN＝mRω2，FN＝mg.(2)在两极上的物体，GMmR2－FN＝0，FN＝mg.〉〉视角四双星问题[例6](多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度答案：BC解析：设两中子星质量为m1、m2，环绕半径为r1、r2，两星间距为r，由万有引力充当向心力可得，Gm1m2r2＝m1r1(2πf)2，Gm1m2r2＝m2r2(2πf)2，r1＋r2＝r，联立解得：m1＋m2＝2πf2r3G，选项B正确，A错误；设两中子星速率分别为v1、v2，由v1＝ωr1＝2πfr1，v2＝ωr2＝2πfr2，联立解得：v1＋v2＝2πfr，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误．[规律方法]解决“双星”问题时，紧抓“四个相等，一个不同”四个相等：向心力、角速度，周期相等，轨道半径之和与两星距离相等．一个不同：万有引力表达式F＝GMmr2中的r为双星间的距离，而不是轨道半径．4．(2018·永州三模)2018年3月30日01时56分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭(即远征一号上面级)，以“一箭双星”方式成功发射第三十、三十一颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第七、八颗组网卫星．北斗导航卫星的轨道有三种：地球静止轨道(高度为35809km)、倾斜地球同步轨道(高度为35809km)、中圆地球轨道(高度为21607km)，如图所示．已知地球半径为6370km，下列说法正确的是()A．中圆地球轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长B．中圆地球轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大C．倾斜同步轨道卫星的线速度为4km/sD．倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方答案：D解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，故中圆轨道卫星的周期小于静止轨道卫星的周期，故A错误；中圆地球轨道卫星与静止轨道卫星的质量关系未知，故无法比较万有引力大小，故B错误；倾斜同步轨道卫星的轨道半径与静止轨道同步卫星的轨道半径相等，故公转周期相等，线速度v＝2πrT＝2×3.14×6370＋3580924×3600km/s＝3km/s，公转周期相等说明倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方，故C错误，D正确．5．(2019·哈尔滨三中模拟)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h高度处由静止释放，使其做自由落体运动，经过时间t后小球到达星球表面．已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是()A．该星球的质量为2hR2Gt2B．该星球表面的重力加速度为h2t2C．该星球的第一宇宙速度为2hRt2D．通过以上数据无法确定该星球的密度答案：A解析：小球做自由落体运动，则有h＝12gt2，解得该星球表面的重力加速度g＝2ht2，故B错误；在星球表面的物体，万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg，可得该星球的质量M＝2hR2Gt2，故A正确；由GMmR2＝mv2R＝mg，得该星球的第一宇宙速度v＝gR＝2hRt，故C错误；该星球的密度ρ＝M43πR3＝3h2πRGt2，故D错误．6．(2019·延吉市阶段性考试)a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地