（新高考）2020版高考数学二轮复习 重点保分专题七 小题考法课（二）课件 文

小题考法课(二)圆锥曲线的方程与性质一、高考真题集中研究——明规律题组(一)椭圆的方程及性质1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝22，∴e＝ca＝222＝22.答案：C2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，得a＝1＋32，c＝1，所以离心率e＝ca＝21＋3＝3－1.答案：D3．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)解析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．答案：A4．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：由题意设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，解得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.答案：B5．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为2aba2＋b2＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－b2a2＝23，所以e＝63.答案：A6．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得x＋42＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)[怎么考]基础性：求椭圆的方程及简单几何性质．综合性：直线与椭圆的综合问题，离心率范围问题等．在解关于椭圆的离心率的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍及注意“根与系数”的关系和“点差法”的应用．题组(二)双曲线的标准方程及性质1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x解析：∵e＝ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝2a.∴渐近线方程为y＝±2x.答案：A2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.1sin50°D.1cos50°解析：由题意可得－ba＝tan130°，所以e＝1＋b2a2＝1＋tan2130°＝1＋sin2130°cos2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.答案：D3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－y23＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝12|PF|·|AP|＝12×3×1＝32.答案：D4．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92解析：由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则x20＋y20＝3，x204－y205＝1，解得x20＝569，y20＝259，所以P2143，53，所以S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.答案：B[怎么考]基础性：双曲线的方程及简单几何性质．综合性：离心率的范围问题．创新性：与三角函数、向量、圆等知识相结合综合考查．题组(三)抛物线的方程及性质1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.答案：D2．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1C.32D．2解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝kx(k＞0)，得k＝2.故选D.答案：D[怎么考]基础性：抛物线定义的应用，焦点弦问题．综合性：直线与抛物线的位置关系．创新性：与向量相结合，考查抛物线的综合问题．解关于直线与抛物线的位置关系的问题时，应注意：(1)直线与抛物线只有一个公共点有两种情况：①切线，②与对称轴平行或重合的直线；(2)涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解；(3)焦点弦长公式要依据抛物线的方程选择．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)圆锥曲线的定义1．[椭圆的定义]设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A.514B.59C.49D.513解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝b2a＝53，|PF1|＝2a－|PF2|＝133，所以|PF2||PF1|＝513.答案：D2．[抛物线的定义](2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_____．解析：∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝43．[双曲线的定义]已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝_______.解析：化双曲线的方程为x22－y22＝1，则a＝b＝2，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝22，解得|PF1|＝42，|PF2|＝22，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝222＋422－162×22×42＝34.答案：34[解题方略]圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．[注意]应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．考点(二)圆锥曲线的标准方程[典例](1)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝－4yD．x2＝－8y(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.x24－y216＝1B.x216－y24＝1C.x216－y264＝1D.x264－y216＝1(3)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.x225＋y25＝1B.x230＋y210＝1C.x236＋y216＝1D.x245＋y225＝1[解析](1)依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，则p2＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.(2)易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.(3)设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝|OP|2＋|OF|2－|PF|22|OP|·|OF|＝35，则|PF′|＝|OP|2＋|OF′|2－2|OP|·|OF′|cosπ－∠POF＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝25，所以b2＝16.故椭圆C的方程为x236＋y216＝1.[答案](1)C(2)A(3)C[解题方略]求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)[集训冲关]1．已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为3，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是()A.x24＋y22＝1B.y24＋x22＝1C.x216＋y24＝1D.y216＋x24＝1解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为xc＋yb＝1，因为点O到直线BF的距离为3.所以bca＝3，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C.答案：C2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA―→＝2AF―→，且|BF―→|＝4，则双曲线C的方程为()A.x26－y25＝1B.x28－y212＝1C.x28－y24＝1D.x24－y26＝1解析：不妨设B(0，b)，由