（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题一 三角函数、平面向量与解三角形 第1讲 三角函数的

小题考情常考点1.三角函数的图象与性质(5年3考)2.三角化简求值(5年3考)3.平面向量的数量积(5年5考)偶考点1.平面向量的概念及线性运算2.正、余弦定理大题考情对三角解答题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，解三角形问题也很常见．三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异．三角大题大致有三类：第一类是给出三角函数值求值(见2018年三角解答题)，第二类在三角形中求解(见2019年、2016年、2015年三角解答题)，第三类是给出向量后求解(见2017年三角解答题).第1讲三角函数的图象及性质课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是2kπ－π，2kπ(k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．3．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．[经典考题再回首]1．(2019·北京高考)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．解析：因为f(x)＝sin22x＝1－cos4x2＝－12cos4x＋12，所以最小正周期T＝2π4＝π2.答案：π22．(2019·全国卷Ⅱ改编)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω0)两个相邻的极值点，则ω＝________.解析：由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4＝π2，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.答案：23．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得fπ3＝sin2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π64．(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是________．解析：①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，故②错误；③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故③错误；④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．答案：①④课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一三角函数的图象变换[例1](1)函数y＝3sin2x－cos2x的图象向右平移φ0φπ2个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为________．(2)若将函数y＝cosx－3sinx的图象向左平移m(m0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小正值为________．[解析](1)由题意知y＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin2x－2φ－π6的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，所以φ＝π6＋kπ2(k∈Z)，又φ∈0，π2，所以φ＝π6.(2)y＝cosx－3sinx＝2cosx＋π3，将其图象向左平移m个单位后得到y＝2cosx＋m＋π3的图象，关于y轴对称，所以x＝0时，y＝±2，所以m＋π3＝kπ(k∈Z)，故m＝－π3＋kπ(k∈Z)．所以m的最小正值为2π3.[答案](1)π6(2)2π3[解题方略]三角函数图象变换中的解题策略(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是φω个单位．考法二求三角函数的解析式[例2](1)数f(x)＝sin(πx＋θ)|θ|π2的部分图象如图所示，且f(0)＝－12，则图中m的值为________．(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)x∈－π12，2π3，φ∈0，π2的图象如图所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2)＝________.[解析](1)∵f(0)＝sinθ＝－12，且|θ|π2，∴θ＝－π6，∴f(x)＝sinπx－π6，∴f(m)＝sinmπ－π6＝－12，∴mπ－π6＝2kπ＋7π6，k∈Z，∴m＝2k＋43，k∈Z.又周期T＝2，∴0m2，∴m＝43.(2)由f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈－π12，2π3的图象，得最小正周期T＝2πω＝432π3＋π12＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点2π3，－2代入，得sin4π3＋φ＝－1，即4π3＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，所以φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又φ∈0，π2，解得φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6x∈－π12，2π3.由f(x1)＝f(x2)，得sin2x1＋π6＝sin2x2＋π6x1，x2∈－π12，2π3，x1≠x2，因为x∈－π12，2π3，所以0≤2x＋π6≤3π2，所以2x1＋π6＋2x2＋π6＝π，所以x1＋x2＝π3，所以f(x1＋x2)＝2sin5π6＝1.[答案](1)43(2)1[解题方略]由“图”定“式”，找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．考法三三角函数的性质及应用[例3](1)已知函数f(x)＝sinωx的图象关于点2π3，0对称，且f(x)在0，π4上为增函数，则ω＝________.(2)(2019·南京三模)函数f(x)＝2sinωx＋π6，其中ω＞0.若x1，x2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，且|x1－x2|的最小值为π.则当x∈0，π2时，f(x)的最小值为________．[解析](1)因为函数f(x)＝sinωx的图象关于点2π3，0对称，所以2π3ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝32k(k∈Z)．①又函数f(x)＝sinωx在区间0，π4上是增函数，所以π4≤π2ω且ω0，所以0ω≤2.②联立①②，解得ω＝32.(2)由|x1－x2|的最小值为π，可知f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝2πT＝2ππ＝2.当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，sin2x＋π6∈－12，1，则f(x)min＝2×－12＝－1.[答案](1)32(2)－1[解题方略]1．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断三角函数对称中心与对称轴的方法利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数值等于零的点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．3．三角函数具有奇偶性的充要条件函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．[集训过关]1．将函数y＝2sin3x的图象向左平移π12个单位长度得到y＝f(x)的图象，则fπ3的值为________．解析：由题意可知，y＝f(x)＝2sin3x＋π12＝2sin3x＋π4，所以fπ3＝2sin3×π3＋π4＝－2sinπ4＝－2.答案：－22．(2019·南京学情调研)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π6对称，则f(0)的值为________．解析：由题意，fπ6＝2sin2×π6＋φ＝±2，即sinπ3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2，－π6π3＋φ5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6，f(0)＝1.答案：13．(2019·南京、盐城二模)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，0φπ)的图象经过点π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则fπ4的值为________．解析：由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点π6，2，所以2sinπ3＋φ＝2，解得φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，又因为0φπ，所以φ＝π6，故f(x)＝2sin2x＋π6，即有fπ4＝2sin2π3＝3.答案：34．已知函数f(x)＝2sinx－π6sinx＋π3，π6≤x≤5π12，则函数f(x)的值域为________．解析：依题意，有f(x)＝232sinx－12cosx·12sinx＋32cosx＝sinxcosx－32(cos2x－sin2x)＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3，因为π6≤x≤5π12，所以0≤2x－π3≤π2，从而0≤sin2x－π3≤1，所