（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第17讲 函数的零点问题课件

第17讲函数的零点问题课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104．三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅲ改编)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为________．解析：令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0，得x＝0，π或2π，由cosx＝1，得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．答案：32．(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝1－x－12，g(x)＝kx＋2，0x≤1，－12，1x≤2，其中k0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．解析：当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝1－x－12⇔(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0,9]上的图象如图所示．∵当x∈(1,2]时，g(x)＝－12，又g(x)的周期为2，∴当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时，g(x)＝－12.由图可知，当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．又当x∈(0,1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2,3]∪(6,7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0,1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点．当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0x≤1)相切时，d＝|3k|k2＋1＝1⇒k2＝18(k0)⇒k＝24.当y＝k(x＋2)过点A(－2,0)与B(1,1)时，k＝13.∴13≤k24.答案：13，243．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一判断函数零点的个数[例1](1)(2019·泰州中学模考)已知函数f(x)＝12x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0的零点个数是________．[解析](1)函数f(x)＝12x－cosx＝0的零点个数为12x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝12x与g(x)＝cosx的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3.(2)当x＞0时，令lnx－x2＋2x＝0，得lnx＝x2－2x，作出y＝lnx和y＝x2－2x图象，显然有两个交点．当x≤0时，令4x＋1＝0，∴x＝－14.综上共有3个零点．[答案](1)3(2)3[解题方略]判断函数零点个数的方法直接法令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数零点存在性定理利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题考法二已知函数零点或方程根的个数求参数[例2](1)已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0，3x－1，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是________．(2)(2019·启东检测)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三个零点，则a的取值范围为________．[解析](1)当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝13，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)．(2)∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数．根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示．∵g(x)＝f(x)－logax在(0，＋∞)上有三个零点，∴y＝f(x)和y＝logax的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y＝logax的图象如图所示，∴loga3＜1，loga5＞1，a＞1，解得3＜a＜5.[答案](1)[－1,0)(2)(3,5)[解题方略]利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．考法三给定区间的函数零点研究[例3](1)已知函数f(x)＝x－1x－2与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和为________．(2)(2019·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝|x＋3|，x≤0，x3－12x＋3，x＞0.设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为________．[解析](1)令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋1x－2与g(x)＝1－sinπx的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2,1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2,6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，且这些交点关于直线x＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16.(2)作出函数f(x)的图象如图所示．因为函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，所以y＝f(x)与y＝g(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)都有交点．当k＞0时，在(－∞，0)内，当k∈0，13时满足题意；当k＜0时，在(0，＋∞)内，只需求过定点(0,1)且与函数f(x)的函数图象相切的直线斜率即可，经计算可知此时k∈(－9，0)．显然k＝0符合题意．综上可知，k的取值范围为－9，13.[答案](1)16(2)－9，13[解题方略]将给定区间的零点问题转换为熟悉的函数图象在给定区间的交点个数问题，利用函数的图象与性质，充分利用对称性和周期性等性质是解题关键．求解零点问题时，往往转化为f(x)＝0的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图象的交点问题求解．[集训过关]1．(2019·南京调研)函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：32．若函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3.答案：(0,3)3．(2019·海门中学检测)函数f(x)＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零点个数是________．解析：函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数，即函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数，作出两函数图象如图所示．显然，函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数为3.答案：34．(2019·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为________．解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期为2，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，由图可知有两个交点，即函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为2.答案：2二、大题考法——求“稳”求“范”考法函数的零点问题[例1]已知函数g(x)＝ax2－2ax－1(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，设函数f(x)＝gxx＋2.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)令h(x)＝f(|2x－1|)＋t·4|2x－1|－3－2，当14t2时，求函数h(x)的零点个数．[解](1)因为g(x)＝ax2－2ax－1的值域为[－2，＋∞)，所以a0，－a－1＝－2，所以a＝1，所以g(x)＝x2－2x－1，f(x)＝x－1x，f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠0}，f(－x)＝－x＋1x＝－x－1x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)令h(x)＝f(|2x－1|)＋t·4|2x－1|－3－2＝0，即|2x－1|－1|2x－1|＋4t|2x－1|－3t－2＝0.令u＝|2x－1|0，则u2－(3t＋2)u＋4t－1＝0.(*)记φ(u)＝u2－(3t＋2)u＋4t－1，因为14t2，所以对称轴x＝3t＋221.因为φ0＝4t－10，φ1＝t－20，所以方程(*)的根为u1，u2，有0u11≤u2.因为u＝|2x－1|，所以原方程有三个相异实根，故当14t2时，函数h(x)有三个零点．[例2]已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋14x，x0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．[解](1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t1)的图象如图所示，由图象可知，当1≤a54时，函数y＝g(t)(