（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何

第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围对称性对称轴：，对称中心：顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝，虚轴长＝离心率性质渐近线y＝±baxy≤－a或y≥ax≥a或x≤－a坐标轴原点2a2by＝±abxe＝ca1思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2.对称中心实轴和虚轴等长[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．()(2)等轴双曲线的渐近线是y＝±x.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．()[答案](1)√(2)√(3)×2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x24－y2m＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是________.(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±m2x，∴m＝3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．][合作探究·攻重难]根据双曲线方程研究几何性质例1、(1)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解](1)椭圆C1的离心率e1＝a2－b2a，双曲线C2的离心率e2＝a2＋b2a.由e1e2＝a2－b2a·a2＋b2a＝1－ba2·1＋ba2＝32，解得ba2＝12，所以ba＝22，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±22x，即x±2y＝0.[答案]A(2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程x2m－y2n＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm.顶点坐标为(－m，0)，(m，0)．∴渐近线的方程为y＝±nmx＝±mnmx.[规律方法]由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．[跟踪训练]1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．y24－x2＝1D．y2－x24＝1C[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令y24－x2＝0，得y＝±2x；令y2－x24＝0，得y＝±12x.故选C．](2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22xB[在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.]利用几何性质求双曲线方程例2、(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A．x24－y212＝1B．x212－y24＝1C．x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________________.[思路探究](1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b(2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．方法：待定系数法求解．[解析](1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，3)，所以ba＝3，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－y23＝1，故选D．(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以4a2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③因为点A(2，－3)在双曲线上，所以9a2－4b2＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线的方程为x222－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.[答案](1)D(2)y28－x232＝1[规律方法]1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±nmx的双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A0，B0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ或y2a2－x2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ0)或y2a2－x2b2＝λ(λ0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟踪训练]2．求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y24－x23＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等；[解](1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.(2)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－140(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.求双曲线的离心率例3、(1)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A．73B．54C．43D．53(2)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A．5B．2C．3D．2[思路探究](1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率．(2)由已知条件画图⇒点M的坐标⇒代入双曲线方程．[解析](1)由题意知ba＝43，则e2＝1＋b2a2＝259，所以e＝53.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1，得a＝b，所以e＝2.故选D．[答案](1)D(2)D[规律方法]求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e＝ca得解.(2)若已知a，b，可直接利用e＝1＋ba2得解.(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解.[跟踪训练]3．(1)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A．43B．53C．94D．3B[考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24.又已知|PF1|·|PF2|＝94ab，∴94ab＝9b2－4a24，得ba＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋432＝53.](2)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．2＋3[如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入x2a2－y2b2＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－3b)，此时kPF2＝3bc－2a＝ba，得到c＝(2＋3)a，即双曲线C的离心率e＝ca＝2＋3.][探究问题]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．直线与双曲线的位置关系例4、已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝1，消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则1－k2≠0，Δ＝4k2＋81－k2＞0，解得－2＜k＜2，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·－2k1－k22＋81－k2＝1＋k28－4k21－k22.又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝11＋k2，∴S△AOB