（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运

第二章基本初等函数(Ⅰ)第2课时对数的运算2.2.1对数与对数运算学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)[自主预习·探新知]1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝log＋l_____ogN；(2)logaMN＝logM___________N；(3)logaMn＝nl_________M(n∈R)．思考：当M0，N0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]不一定．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM2．对数的换底公式若a0且a≠1；c0且c≠1；b0，则有logab＝————.logcblogca[基础自测]1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．()[答案](1)√(2)×(3)×2．计算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6D．1D[log84＋log82＝log88＝1.]3．计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2C[log510－log52＝log55＝1.]4．log23·log32＝________.1[log23·log32＝lg3lg2×lg2lg3＝1.][合作探究·攻重难]例1计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg2＋lg3－lg10lg1.8.对数运算性质的应用[解](1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12.[规律方法]1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟踪训练]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.例2计算：(1)lg20＋log10025；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).对数的换底公式[解](1)lg20＋log10025＝1＋lg2＋lg25lg100＝1＋lg2＋lg5＝2.(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝3＋1＋13log25·(1＋1＋1)log52＝133·3＝13.[规律方法]1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.2.常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝mnlogab，logab＝1logba等.[跟踪训练]2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.[探究问题]1．若2a＝3b，则a，b间存在怎样的等量关系？对数运算性质的综合应用提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴ab＝log23.2．若log23＝a，log25＝b，你能用a，b表示log415吗？提示：log415＝log215log24＝log23＋log252＝a＋b2.例3已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求c的值.思路探究：3a＝5b＝c―――→指对互化求1a，1b――――→1a＋1b＝2求c的值[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴1a＝logc3，1b＝logc5，∴1a＋1b＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝15.母题探究：1.把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求1a＋1b的值．[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴1a＋1b＝log153＋log155＝log1515＝1.[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴1a＋1b＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝3lgclg3－5lgclg5＝lgc3lg5－5lg3lg3lg5＝lgclg125－lg243lg3lg50，∴3a5b.[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝3lgclg3－5lgclg5＝lgc3lg5－5lg3lg3lg5＝lgclg125－lg243lg3lg50，∴3a5b.[规律方法]应用换底公式应注意的两个方面化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式[当堂达标·固双基]1．（2018年古冶区模拟）计算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】B[原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]2．（2019年北京模拟）计算log92·log43＝()A．4B．2C.12D.14【答案】D[log92·log43＝lg2lg9·lg3lg4＝14.]3．（2019年和平区校级月考）设10a＝2，lg3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．abD．a＋b【答案】B[∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝lg6lg2＝lg2＋lg3lg2＝a＋ba.]4．（2019年凯里市校级月考）log816＝________.【答案】43[log816＝log2324＝43.]5．（2019年新乡校级期中）计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.