（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法（第

第一章集合与函数概念第一课时函数的表示法1.2.2函数的表示法学习目标：1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)[自主预习·探新知]函数的表示法数学表达式图象表格思考：(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？[提示](1)三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大(2)不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝0，x∈Q，1，x∈∁RQ.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．[基础自测]1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x222x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在C[∵当2x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]3．已知函数y＝f(x)的图象如图1­2­1所示，则其定义域是________．图1­2­1[－2,3][由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]4．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为()A．y＝－14x2＋1B．y＝14x2－1C．y＝4x2－16D．y＝－4x2＋16B[把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．][合作探究·攻重难]例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．函数表示法的选择[解]①列表法如下：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000②图象法：如图所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．[规律方法]列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.[跟踪训练]1．下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.[解](1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀，张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．例2作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．图象的画法及应用[解](1)列表x01－23y0－12－3函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．(2)列表x2345…y1231225…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x2之间的部分．由图可得函数的值域为[－1,8)．[规律方法]描点法作函数图象的三个关注点1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.[跟踪训练]2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x1，或x－1).[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x1，或x－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．[探究问题]1．已知函数的类型(如二次函数)，常用什么方法求其解析式？解析式的求法提示：常用待定系数法，如二次函数常有三种设法：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k，(a≠0)；(3)交点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．2．已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．例3(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________.(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.思路探究：(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)2x＋83或－2x－8(3)23x－1[(1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，因为x＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即a2＝4，ab＋b＝8，解得a＝2，b＝83或a＝－2，b＝－8.所以f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得fx－2f－x＝1＋2x，f－x－2fx＝1－2x，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]母题探究：1.(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2f1x＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．[解]f(x)＋2f1x＝x，令x＝1x，得f1x＋2f(x)＝1x.于是得关于f(x)与f1x的方程组fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x.[解]f(x)＋2f1x＝x，令x＝1x，得f1x＋2f(x)＝1x.于是得关于f(x)与f1x的方程组fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x.解得f(x)＝23x－x3(x≠0)．[规律方法]求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．．换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．．配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．1．（2018秋•白水县期末）已知f（x）是一次函数，且f（x-1）=3x-5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x+2B．f（x）=3x-2C．f（x）=2x+3D．f（x）=2x-3【解答】解：设f（x）=kx+b，（k≠0）∴f（x-1）=k（x-1）+b=3x-5，即kx-k+b=3x-5，比较得：k=3，b=-2，∴f（x）=3x-2，故选：B．[当堂达标·固双基]2．（2019春•南宁期末）明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）【解答】解：由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少．故选：A．3．（2019春•海安县校级月考）已知函数f（x）=，则函数的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵≥0；∴f（x）≥0；∴f（x）的值域为[0，+∞）．故选：B．42x42x4．（2018秋•惠来县校级月考）下列三个图象中，是函数图象的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）D．（3）【解答】解：根据函数的定义，一个x对应唯一的y，这样的图象才是函数图象；∴（2）（3）是函数图象．故选：B．5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域.[解](1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．