3.2立体几何中的向量方法第2课时-空间向量与垂直关系-教案(人教A版选修2-1)

第2课时空间向量与垂直关系●三维目标1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2．过程与方法通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神．●重点难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，强化重点．(教师用书独具)●教学建议根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程．因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．●教学流程提出问题：立体几何中如何证明线线、线面、面面垂直引导学生回顾以往知识，并启发学生思考用向量方法是否能够解决这一问题.通过探究、分析，引导学生归纳出用向量证明线线、线面、面面垂直的方法.通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量证明线线垂直.通过例2及其变式训练，使学生掌握利用向量证明线面垂直.完成例3及其变式训练，从而解决利用向量证明面面垂直问题.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法．(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)线线垂直【问题导思】立体几何中怎样证明两条直线互相垂直【提示】(1)证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直．(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质．设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥ma·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.线面垂直【问题导思】1．如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直【提示】证明直线的方向向量与平面的法向量共线．2．除上述方法外，还有其他证明方法吗【提示】可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直．设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥αa∥ua＝ku(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥βu⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.利用向量证明线线垂直图3－2－10已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.【思路探究】(1)若选AB→、AC→、AA1→为基向量，你能用基向量表示AB1→与MN→吗怎样证明AB1→与MN→垂直(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立你能用坐标表示向量AB1→与MN→并证明它们平行吗【自主解答】法一设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，AB1→＝a＋c，AM→＝12(a＋b)，AN→＝b＋14c，MN→＝AN→－AM→＝－12a＋12b＋14c，∴AB1→·MN→＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c)＝－12＋12cos60°＋0－0＋0＋14＝0.∴AB1→⊥MN→，∴AB1⊥MN.法二设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－12，0,0)，B(12，0,0)，C(0，32，0)，N(0，32，14)，B1(12，0,1)，∵M为BC中点，∴M(14，34，0)．∴MN→＝(－14，34，14)，AB1→＝(1,0,1)，∴MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN→⊥AB1→，∴AB1⊥MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.【证明】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)．∵A1F→·C1E→＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴A1F→⊥C1E→，即A1F⊥C1E.利用向量证明线面垂直在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.【思路探究】(1)本题证明能用基向量法吗(2)用坐标法可以吗怎样证明较为简单【自主解答】法一设AB→＝a，AD→＝c，AA1→＝b，则EF→＝EB1→＋B1F→＝12(BB1→＋B1D1→)＝12(AA1→＋BD→)＝12(－a＋b＋c)∵AB1→＝AB→＋AA1→＝a＋b，∴EF→·AB1→＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，∴EF→⊥AB1→，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.法二设正方体的棱长为2，建系如图则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴EF→＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，AB1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC→＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而EF→·AB1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.1．坐标法证明线面垂直有两种思路：方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．图3－2－11(2013·北京高二检测)如图3－2－11，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是CA→＝(－1,1,0)，CP→＝(－1,0,1)，PB1→＝(1,1,1)，∴CA→·PB1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，CP→·PB1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP→⊥PB1→，CA→⊥PB1→，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.利用向量证明面面垂直图3－2－12如图3－2－12，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【思路探究】建系写出坐标→分别求出两平面的法向量n1，n2→n1·n2＝0→两平面垂直【自主解答】由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，12)，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝(－2,0，12)．设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·AA1→＝0n1·AC→＝0z＝0，－2x＋2y＝0.令x＝1，得y＝1，∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·AC1→＝0n2·AE→＝0－2x＋2y＋z＝0，－2x＋12z＝0.令z＝4，得x＝1，y＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,1，12)，DB1→＝(1,1,1)，DE→＝(0,1，12)，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋12z＝0，令z＝－2，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.利用平面的法向量求解空间中的探索性问题图3－2－13(12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.【思路点拨】建立直角坐标系，设出点P的坐标，将平面垂直当作已知条件．利用它们的法向量垂直可得P点坐标．【规范解答】如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(12，1,0)，C1(0,1,1)，2分A1B1→＝(0,1,0)，A1P→＝(－1,1，a－1)，DE→＝(12，1,0)，DC1→＝(0,1,1).4分设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·A1B1→＝0，n1·A1P→＝0，y1＝0，－x1＋y1＋a－1z1＝0，∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1).8分设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·DE→＝0，n2·DC1→＝0，12x2＋y2＝0，y2＋z2＝0，x2＝－2y2，z2＝－y2.令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴n1·n2＝0，即－2(a－1