解排列组合问题的常用策略

名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.回目录1.排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn)!(!!mnmnCmn10nCmmmnnmACAmnnmnCC11mnmnmnCCC从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnAnA回目录某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是A.B.C.D.C34A344334（选C）回目录将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有A.6种B.9种C.11种D.23种（3×3×1=9.可用框图具体填写）回目录判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题回目录总的原则—合理分类和准确分步解法1分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例16个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有种方法.55A2)若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有种，1位的排法有种,第2、3、6、7位的排法有种，根据分步计数原理，不同的站法有种。14A14A44A441414AAA再安排老师，有2种方法。.(1008)(244141455种）AAAA回目录把握分类原理、分步原理是基础例1如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）（A）63种（B）64种（C）6种（D）36种CDBAEF分析:由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63回目录（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？练习1分类：个位数字为5或0：个位数为0：45A个位数为5：216341445AAA3414AA回目录（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？分类：引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？3251231234134512AAAAAA2753254515AA27512212233445AAAA方法一：（排除法）方法二：（直接法）回目录（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．240种C．144种D．96种B（间接法）个）(240353546AAA回目录（直接法）分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览情况二:甲、乙中有一人去游览情况三：甲、乙两人都去游览综上不同的选择方案共有2401.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______34练习题2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.27回目录特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A回目录特殊元素（或位置）优先安排例将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）（A）120种（B）96种（C）78种（D）72种解：4113433378AAAA782334455AAA（1）(2005·北京·文)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）种。（2）(2005·全国II·理)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．1444AA192相邻相间问题相邻元素捆绑策略例.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。回目录某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题20回目录不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独回目录不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有种方法，这样共有种不同的排法。44A35A3544AA回目录（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：443322AAA4433AA插空法：（3）(2005·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）练习回目录(3)(2005·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．482333A1224A5761248引申:用１、２、３、４、５、６、组成没有重复数字的六位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，现将7、8插进去，仍要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，那么插法共有___________种．（用数字作答）回目录“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种960种（B）840种（C）720种（D）600种解：242245960AAA另解：251254960AAA回目录练习某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311C解：38C回目录定序问题倍缩空位插入策略定序问题例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有种。473377AAA分析：先在7个位置上作全排列，有种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故只对应一种排法，33A77A回目录定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?回目录分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？57577557A57C75用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。回目录重排问题求幂策略例.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.7把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法67回目录多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.回目录小集团问题小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有____种排法，再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有_______种排法.22A2222AA2222AA22A31524小集团小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。回目录１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______