正、余弦函数周期性

正、余弦函数周期性教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x232202322函数值sinx010101010正弦函数()sinfxx性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin()fxkxkxfx．也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()fx，如果存在一个非零常数．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。––222525Oxy11说明：（1）T必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()fxTfx必须对定义域内的任意x都成立。【思考】（1）对于函数sinyx，xR有2sin()sin636，能否说23是它的周期？（2）正弦函数sinyx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，kZ且0k）（3）若函数()fx的周期为T，则kT，*kZ也是()fx的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()fxfxTfxTfxkT）2．最小正周期的定义对于一个周期函数()fx，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()fx的最小正周期。说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；（2）从图象上可以看出sinyx，xR；cosyx，xR的最小正周期为2；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()fxc没有最小正周期）3．例题分析：例1：求下列函数周期：（1）3cosyx，xR；（2）sin2yx，xR；（3）12sin()26yx，xR．解：（1）∵3cos(2)3cosxx，∴自变量x只要并且至少要增加到2x，函数3cosyx，xR的值才能重复出现，所以，函数3cosyx，xR的周期是2．（2）∵sin(22)sin2()sin2xxx，∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数sin2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数sin2yx，xR的周期是．（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626xxx，∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数sin2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数sin2yx，xR的周期是．说明：（1）一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx，xR（其中,,A为常数，且0A，0）的周期2T；（2）若0，例如：①3cos()yx，xR；②sin(2)yx，xR；③12sin()26yx，xR．则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx，xR的周期2||T．例2：求下列函数的周期：（1）sin()32yx；（2）33coscossinsin2222xxxxy；（3）sincosyxx；（4）22cossin22xxy；（5）2cosyx．解：（1）24||2T，∴周期为4；（2）333coscossinsincos()cos222222xxxxxxyx，∴周期为2；（3）cossin2sin()4yxxx∴周期为2；（4）22sincoscos22xxyx，∴周期为2；（5）2111cos(1cos2)cos2222yxxx，∴周期为．说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()yAx的形式，再利用公式2T进行求解。课堂练习：求下列函数的周期：（1）sin3yx，xR；（2）cos3xy，xR；（3）3sin4xy，xR；（4）sin()10yx，xR；（5）cos(2)3yx，xR；（6）13sin()24yx，xR．小结：1.周期函数、最小正周期的定义；2.sin()yAx型函数的周期的求法。作业补充：求下列函数的周期：（1）2cos2yx；（2）sinsin()2yxx；（3）sincos22xxy；（4）22sincosyxx；（5）66sincosyxx．