（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题七 随机变量、空间向量 第一讲 随机变量与分布列课件 理

1、随机变量、空间向量（理独）题七专[江苏卷5年考情分析]这两部分内容的教学课时较多，是高考的重点，近几年通常交替式考查，对于空间向量的考查，以容易建立空间直角坐标系，计算空间角为主(2015年、2017年、2018年)，难度一般；概率题重点考查离散型随机变量及其分布列、均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布等，难度中等偏难(2017年T23、2019年T23)．既考查数学运算、逻辑推理，又考查数学建模、数据分析等数学核心素养．随机变量与分布列一讲第离散型随机变量的分布列及其期望题型(一)主要考查特殊事件的概率求解以及分布列与期望的求解.[典例感悟][例1](2019·南通等七市一模)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然两位“回文数”共9个：11，22，33，…，99，现从9个不同两位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同两位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1)求X为“回文数”的概率；(2)设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．[解](1)记“X是‘回文数’”为事件A，9。

2、个不同两位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A的概率为29.(2)由题意知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，P(B)＝20C29＝59.P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝1－29×1－59＝2881；P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝1－29×59＋29×1－59＝4381；P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081.所以随机变量ξ的分布列为ξ012P288143811081所以E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.[方法技巧]求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：[演练冲关](2018·扬。

3、州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，则P(M)＝C27C13C310＝2140，故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为2140.(2)X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C24C23C25C25＝950，P(X＝1)＝C11C14C23＋C24C12C13C25C25＝1225，P(X＝2)＝C14C12C13＋C24C25C25＝310，P(X＝3)＝C11C14C22C25C25＝125，所以X的分布列为：X0123P9501225310125所以X的数学期望。

4、E(X)＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65.n次独立重复试验的模型及二项分布题型(二)主要考查对n次独立重复试验的模型的识别以及二项分布模型公式的应用.[典例感悟][例2](2019·南京盐城二模)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择任何一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集合，设点C是其中的一个岔路口．(1)求甲经过点C的概率；(2)设这4名游客中恰有X名游客经过点C，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)设“甲经过点C”为事件M，从进口A出发时，甲选中间的路的概率为13，再从岔路到达点C的概率为12，所以选择从中间一条路走到点C的概率P1＝13×12＝16.同理，选择从最右边的路走到点C的概率P2＝13×12＝16所以P(M)＝P1＋P2＝16＋16＝13.故甲经过点C的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C04×130×234。

5、＝1681，P(X＝1)＝C14×131×233＝3281，P(X＝2)＝C24×132×232＝827，P(X＝3)＝C34×133×231＝881，P(X＝4)＝C44×134×230＝181.所以X的分布列为X01234P16813281827881181数学期望E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.[方法技巧]二项分布的分布列及期望问题求解三步骤第一步判断二项分布先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布第二步求概率若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少第三步求期望根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可[演。

6、练冲关](2018·苏北四市三调)将4本不同的书随机放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中．(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44＝256种不同放法．记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A共包含A44＝24个基本事件，所以P(A)＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝3444＝81256，P(X＝1)＝C14×3344＝2764，P(X＝2)＝C24×3244＝27128，P(X＝3)＝C34×344＝364，P(X＝4)＝C4444＝1256.所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望为E(X)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1.法二：每本书放入2号抽屉的概率为P(B)＝14，P(B－)＝1－14＝34.根据题意X～B4，14，。

7、所以P(X＝k)＝Ck414k·344－k，k＝0，1，2，3，4，所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望为E(X)＝4×14＝1.概率与其他知识的综合题型(三)主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复杂背景下的概率与期望的综合问题.[典例感悟][例3](2018·南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论．[解](1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)＝C34124＋C44124＝516，同理P(3)＝C46126＋C56126＋C66126＝1132.(2)在2n局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为n＋1局，故P(n)＝Cn＋12n122n＋Cn＋22n122n。

8、＋…＋C2n2n122n＝Cn＋12n＋Cn＋22n＋…＋C2n2n·122n＝12C02n＋C12n＋…＋C2n2n－Cn2n·122n＝1222n－Cn2n·122n＝121－Cn2n22n，所以P(n＋1)＝121－Cn＋12n＋222n＋2.又Cn2n22nCn＋12n＋222n＋2＝4Cn2nCn＋12n＋2＝4·（2n）！n！n！（2n＋2）！（n＋1）！（n＋1）！＝4（n＋1）2（2n＋2）（2n＋1）＝2（n＋1）2n＋1＞1，所以Cn2n22n＞Cn＋12n＋222n＋2，所以P(n)＜P(n＋1)．[方法技巧]二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其P(n)和P(n＋1)，然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、立体几何等知识交汇命题．[演练冲关]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{(0，0)，(1，0)，(2，0)，…，(n，0)}，Bn＝{(0，1)，(n，1)}，。

9、Cn＝{(0，2)，(1，2)，(2，2)，…，(n，2)}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．(1)当n＝1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．解：(1)当n＝1时，X的所有可能取值是1,2，2,5.X的概率分布为P(X＝1)＝7C26＝715，P(X＝2)＝4C26＝415，P(X＝2)＝2C26＝215，P(X＝5)＝2C26＝215.(2)设A(a，b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点．因为P(X≤n)＝1－P(Xn)，所以仅需考虑Xn的情况．①若b＝d，则AB≤n，不存在Xn的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝（a－c）2＋1≤n2＋1，所以Xn当且仅当AB＝n2＋1，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；③若b＝0，d＝2，则AB＝（a－c）2＋4≤n2＋4.因为当n≥3时，（n－1）2＋4≤n，所以Xn当且仅当AB＝n2＋4，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；④若b＝1，d＝2，则AB＝（a－c）2＋1≤n2＋1，所以Xn当且仅当A。

10、B＝n2＋1，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法．综上，当Xn时，X的所有可能取值是n2＋1和n2＋4，且P(X＝n2＋1)＝4C22n＋4，P(X＝n2＋4)＝2C22n＋4.因此，P(X≤n)＝1－P(X＝n2＋1)－P(X＝n2＋4)＝1－6C22n＋4.2．(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n).123…m＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)n（m＋n）（n－1）.解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p＝Cn－1m＋n－1Cnm＋n＝nm＋n.(2)证明：随机变量X的概率分布为：X1n1n＋11n＋2…1k…1m＋nPCn－1n－1Cnm＋nCn－1nCnm＋nCn－1n＋1Cnm＋n…Cn－1k－1Cnm＋n…Cn－。