（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题一 三角化简与求值课件 苏教版

三角函数、解三角形、平面向量微专题一三角化简与求值课时作业考情分析由于两角和与差的公式和平面向量数量积为C级考点，所以在近3年高考试题中，三角化简求值的问题每一年都会出现．年份考察情况2017年T4在填空题中考察正切的两角和差公式；T18在应用题中考察三角求值2018年T16考察三角化简求值2019年T13，T15考察三角化简与求值课时作业典型例题目标1三角函数定义的运用例1如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝255.(1)求cosβ的值；(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标．解析：(1)在△AOB中，由余弦定理得，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，所以cos∠AOB＝OA2＋OB2－AB22OA·OB＝12＋12－25522×1×1＝35，即cosβ＝35.(2)因为cosβ＝35，β∈0，π2，所以sinβ＝1－cos2β＝1－352＝45.因为点A的横坐标为513，由三角函数定义可得，cosα＝513.因为α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝1－5132＝1213，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝1213×35＋513×45＝5665，所以点B－3365，5665.点评：三角函数的定义主要可以沟通坐标与角之间的关系．这类问题在处理时，要把握清楚图形中的角与三角函数的定义角之间的关系．【思维变式题组训练】1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．若点B的横坐标为－45，则tanα的值为________．－34解析：设点B的纵坐标为m，则由题意m2＋－452＝1，且m＞0，所以m＝35，故B－45，35.根据三角函数的定义得tanα＝35－45＝－34.2.已知直线y＝2x和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，以x轴正半轴为始边，OA，OB为终边的角分别为α，β，则sin(α＋β)的值为________．－45解析：联立直线与圆的方程可得，交点坐标为A55，255，B－55，－255，又β＝π＋α，所以sin(α＋β)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－2×55×255＝－45.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解析：(1)由已知条件即三角函数的定义可知cosα＝210，cosβ＝255.因为α为锐角，故sinα0，从而sinα＝1－cos2α＝7210.同理可得sinβ＝1－cos2β＝55，因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×12＝－1.又0απ2，0βπ2，故0α＋2β3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.目标2已知三角函数值求值、求角例2已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β的大小．解析：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.所以tanα＝sinαcosα＝437×7＝43，于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.点评：根据已知三角函数求角的值的问题可以直接根据三角函数值计算出角的值，再进行运算求解(针对特殊角)；也可以计算出所求的角的三角函数值后再根据角的范围求出角的值．这类问题处理的细节是对角的所在区间的研究，从而控制解的个数．一般地，若α∈[0，π]，应该选择计算它的余弦值，若α∈－π2，π2，应该选择计算它的正弦值，可以避免不必要的两解，如果题中所给出的部分角的正切值，也可以求出所求角的正切值．总之要根据角的范围合理选择正弦、余弦、正切，减少讨论．例3(2018江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255.因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.【思维变式题组训练】1.已知tanα＝17，tanβ＝13，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.π4解析：依题意由tanα＝17，tanβ＝13，可知tanα＝1733，tanβ＝1333.又α，β∈(0，π)，所以0απ6，0βπ6，tan(α＋β)＝17＋131－17×13＝12，从而tan(α＋2β)＝12＋131－12×13＝1.又0απ6，0βπ6，所以0α＋2βπ2，所以α＋2β＝π4.2.设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tanα2＝12，则cosβ的值为________．－1665解析：由tanα2＝12得tanα＝2tanα21－tan2α2＝2×121－14＝43.又α∈(0，π)，所以sinα＝45，cosα＝35.由sin(α＋β)＝513sinα，α，β∈(0，π)得α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－1213.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665.3.设α为锐角，若cosα＋π6＝45，求sin2α＋π12的值．解析：解法一：由题知sinα＋π6＝35且α为锐角，从而sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，cos2α＋π6＝2cos2α＋π6－1＝2×1625－1＝725，从而sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α＋π3cosπ4－cos2α＋π3sinπ4＝2425×22－725×22＝17250.解法二：设α＋π6＝t∈π6，2π3，则cost＝45，其中α＝t－π6.因为cost＝45且t∈π6，2π3，所以sint＝35，即cos2t＝2cos2t－1＝3225－1＝725，sin2t＝2sintcost＝2425.因此sin2α＋π12＝sin2t－π4＝17250.点评：对于给出已知角的三角函数值，求与之相关的角的三角函数值的问题，解法一是配凑整体代换，这样角的关系处理起来比较复杂，不如解法二的换元法容易操作．这类问题的细节是对角所在的区间的研究，避免出现不必要的讨论．4.已知sinα＋π4＝210，且α∈π2，π.(1)求cosα的值；(2)求sin2α－π4的值．解析：(1)解法一：因为α∈π2，π，所以α＋π4∈3π4，5π4.又sinα＋π4＝210，所以cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－1－2102＝－7210.所以cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－7210×22＋210×22＝－35.解法二：由sinα＋π4＝210得，sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝210，即sinα＋cosα＝15.①又sin2α＋cos2α＝1.②由①②解得cosα＝－35或cosα＝45.因为α∈π2，π，所以cosα＝－35.(2)因为α∈π2，π，cosα＝－35，所以sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45.所以sin2α＝2sinαcosα＝2×45×－35＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×－352－1＝－725.所以sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－2425×22－－725×22＝－17250.目标3三角恒等变换例4已知α，β∈0，π2，且sin(α＋2β)＝75sinα.求证：tan(α＋β)＝6tanβ.证明：因为sin(α＋2β)＝75sinα，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ＝75[sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ]，所以sin(α＋β)cosβ＝6cos(α＋β)sinβ.①因为α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)．若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0，与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.由①两边同除以cos(α＋β)cosβ得tan(α＋β)＝6tanβ.点评：向量背景下的三角函数的问题主要有两种考查方式，一是给出向量的坐标，根据所给出的向量的关系再转化为三角函数的化简和求值问题；二是在三角形中给出向量的数量积之间的关系，转化为与向量夹角有关的三角函数的化简求值问题．处理这两种问题时要确保向量关系及运算的基本公式和定义运用正确．【思维变式题组训练】1.已知sin10°＋mcos10°＝2cos140°，则m的值为________．－3解析：由sin10°＋mcos10°＝2cos140°可得，m＝2cos140°－sin10°cos10°＝－2cos40°－sin10°cos10°＝－2cos30°＋10°－sin10°cos10°＝－3cos10°cos10°＝－3.2.已知sinα＝－45α∈3π2，2π，若sinα＋βcosβ＝2，则tan(α＋β)＝________.613解析：因为sinα＝－45，α∈3π2，2π，所以cosα＝35.由sinα＋βcosβ＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613.3.设α是第四象限角，若sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.－34解析：sin3αsinα＝sinα＋2αsinα＝sinαcos2α＋cosαsin2αsinα＝cos2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝135，解得cos2α＝910.因为α是第四象限角，所以cosα＝31010，sinα＝－1010，所以tanα＝－13，tan2α＝2tanα1－tan